حل {l}{2x-y+3/3-x-2y+3/4=4}{3x-4y+3/4+4x-2y-9/3=4}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { 2 x - y + 3 } { 3 } - \frac { x - 2 y + 3 } { 4 } = 4 } \\ { \frac { 3 x - 4 y + 3 } { 4 } + \frac { 4 x - 2 y - 9 } { 3 } = 4 } \end{array} \right.$$

برای x،y حل کنید

$$x=7$$

$$y=5$$

مراحل استفاده از جایگزینی

اولین معادله را در نظر بگیرید. هر دو سوی معادله در 12، کوچکترین مضرب مشترک 3,4، ضرب شود.

$$4\left(2x-y+3\right)-3\left(x-2y+3\right)=48$$

از اموال توزیعی برای ضرب 4 در 2x-y+3 استفاده کنید.

$$8x-4y+12-3\left(x-2y+3\right)=48$$

از اموال توزیعی برای ضرب -3 در x-2y+3 استفاده کنید.

$$8x-4y+12-3x+6y-9=48$$

8x و -3x را برای به دست آوردن 5x ترکیب کنید.

$$5x-4y+12+6y-9=48$$

-4y و 6y را برای به دست آوردن 2y ترکیب کنید.

$$5x+2y+12-9=48$$

تفریق 9 را از 12 برای به دست آوردن 3 تفریق کنید.

$$5x+2y+3=48$$

3 را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$5x+2y=48-3$$

تفریق 3 را از 48 برای به دست آوردن 45 تفریق کنید.

$$5x+2y=45$$

دومین معادله را در نظر بگیرید. هر دو سوی معادله در 12، کوچکترین مضرب مشترک 4,3، ضرب شود.

$$3\left(3x-4y+3\right)+4\left(4x-2y-9\right)=48$$

از اموال توزیعی برای ضرب 3 در 3x-4y+3 استفاده کنید.

$$9x-12y+9+4\left(4x-2y-9\right)=48$$

از اموال توزیعی برای ضرب 4 در 4x-2y-9 استفاده کنید.

$$9x-12y+9+16x-8y-36=48$$

9x و 16x را برای به دست آوردن 25x ترکیب کنید.

$$25x-12y+9-8y-36=48$$

-12y و -8y را برای به دست آوردن -20y ترکیب کنید.

$$25x-20y+9-36=48$$

تفریق 36 را از 9 برای به دست آوردن -27 تفریق کنید.

$$25x-20y-27=48$$

27 را به هر دو طرف اضافه کنید.

$$25x-20y=48+27$$

48 و 27 را برای دریافت 75 اضافه کنید.

$$25x-20y=75$$

برای حل یک سری معادله با استفاده از جایگزینی، ابتدا یکی از معادله‌ها را برای یکی از متغیرها حل کنید. سپس نتیجه را برای آن متغیر در معادله دیگر جایگزین کنید.

$$5x+2y=45,25x-20y=75$$

یکی از معادلات را انتخاب کنید و با تنها نگه داشتن x در سمت چپ علامت مساوی و حل معادله، x را به دست آورید.

$$5x+2y=45$$

2y را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$5x=-2y+45$$

هر دو طرف بر 5 تقسیم شوند.

$$x=\frac{1}{5}\left(-2y+45\right)$$

\frac{1}{5} بار -2y+45.

$$x=-\frac{2}{5}y+9$$

-\frac{2y}{5}+9 را با x در معادله جایگزین کنید، 25x-20y=75.

$$25\left(-\frac{2}{5}y+9\right)-20y=75$$

25 بار -\frac{2y}{5}+9.

$$-10y+225-20y=75$$

-10y را به -20y اضافه کنید.

$$-30y+225=75$$

225 را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$-30y=-150$$

هر دو طرف بر -30 تقسیم شوند.

$$y=5$$

5 را با y در x=-\frac{2}{5}y+9 جایگزین کنید. از آنجایی که معادله حاصل شامل تنها یک متغیر است، می‌توانید به طور مستقیم برای x حل کنید.

$$x=-\frac{2}{5}\times 5+9$$

-\frac{2}{5} بار 5.

$$x=-2+9$$

9 را به -2 اضافه کنید.

$$x=7$$

سیستم در حال حاضر حل شده است.

$$x=7,y=5$$

مراحل استفاده از ماتریس

اولین معادله را در نظر بگیرید. هر دو سوی معادله در 12، کوچکترین مضرب مشترک 3,4، ضرب شود.

$$4\left(2x-y+3\right)-3\left(x-2y+3\right)=48$$

از اموال توزیعی برای ضرب 4 در 2x-y+3 استفاده کنید.

$$8x-4y+12-3\left(x-2y+3\right)=48$$

از اموال توزیعی برای ضرب -3 در x-2y+3 استفاده کنید.

$$8x-4y+12-3x+6y-9=48$$

8x و -3x را برای به دست آوردن 5x ترکیب کنید.

$$5x-4y+12+6y-9=48$$

-4y و 6y را برای به دست آوردن 2y ترکیب کنید.

$$5x+2y+12-9=48$$

تفریق 9 را از 12 برای به دست آوردن 3 تفریق کنید.

$$5x+2y+3=48$$

3 را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$5x+2y=48-3$$

تفریق 3 را از 48 برای به دست آوردن 45 تفریق کنید.

$$5x+2y=45$$

دومین معادله را در نظر بگیرید. هر دو سوی معادله در 12، کوچکترین مضرب مشترک 4,3، ضرب شود.

$$3\left(3x-4y+3\right)+4\left(4x-2y-9\right)=48$$

از اموال توزیعی برای ضرب 3 در 3x-4y+3 استفاده کنید.

$$9x-12y+9+4\left(4x-2y-9\right)=48$$

از اموال توزیعی برای ضرب 4 در 4x-2y-9 استفاده کنید.

$$9x-12y+9+16x-8y-36=48$$

9x و 16x را برای به دست آوردن 25x ترکیب کنید.

$$25x-12y+9-8y-36=48$$

-12y و -8y را برای به دست آوردن -20y ترکیب کنید.

$$25x-20y+9-36=48$$

تفریق 36 را از 9 برای به دست آوردن -27 تفریق کنید.

$$25x-20y-27=48$$

27 را به هر دو طرف اضافه کنید.

$$25x-20y=48+27$$

48 و 27 را برای دریافت 75 اضافه کنید.

$$25x-20y=75$$

معادلات را در قالب استاندارد قرار داده و سپس از ماتریس‌ها برای حل سیستم معادلات استفاده کنید.

$$5x+2y=45,25x-20y=75$$

معادله‌ها را به شکل ماتریس بنویسید.

$$\left(\begin{matrix}5&2\\25&-20\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}45\\75\end{matrix}\right)$$

معادله را از سمت چپ در ماتریس وارون \left(\begin{matrix}5&2\\25&-20\end{matrix}\right) ضرب کنید.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\25&-20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&2\\25&-20\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\25&-20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\75\end{matrix}\right)$$

حاصل ماتریس و وارون آن ماتریس همانی است.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\25&-20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\75\end{matrix}\right)$$

ماتریس‌های سمت چپ علامت مساوی را ضرب کنید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\25&-20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\75\end{matrix}\right)$$

برای ماتریس 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، ماتریس معکوس \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) است، بنابراین معادله ماتریس می‌تواند به‌صورت مسئله ضرب ماتریس بازنویسی شود.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{20}{5\left(-20\right)-2\times 25}&-\frac{2}{5\left(-20\right)-2\times 25}\\-\frac{25}{5\left(-20\right)-2\times 25}&\frac{5}{5\left(-20\right)-2\times 25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}45\\75\end{matrix}\right)$$

محاسبات را انجام دهید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{15}&\frac{1}{75}\\\frac{1}{6}&-\frac{1}{30}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}45\\75\end{matrix}\right)$$

ماتریس‌ها را ضرب کنید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{15}\times 45+\frac{1}{75}\times 75\\\frac{1}{6}\times 45-\frac{1}{30}\times 75\end{matrix}\right)$$

محاسبات را انجام دهید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

عناصر ماتریس x و y را استخراج کنید.

$$x=7,y=5$$

مراحل استفاده از حذف

اولین معادله را در نظر بگیرید. هر دو سوی معادله در 12، کوچکترین مضرب مشترک 3,4، ضرب شود.

$$4\left(2x-y+3\right)-3\left(x-2y+3\right)=48$$

از اموال توزیعی برای ضرب 4 در 2x-y+3 استفاده کنید.

$$8x-4y+12-3\left(x-2y+3\right)=48$$

از اموال توزیعی برای ضرب -3 در x-2y+3 استفاده کنید.

$$8x-4y+12-3x+6y-9=48$$

8x و -3x را برای به دست آوردن 5x ترکیب کنید.

$$5x-4y+12+6y-9=48$$

-4y و 6y را برای به دست آوردن 2y ترکیب کنید.

$$5x+2y+12-9=48$$

تفریق 9 را از 12 برای به دست آوردن 3 تفریق کنید.

$$5x+2y+3=48$$

3 را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$5x+2y=48-3$$

تفریق 3 را از 48 برای به دست آوردن 45 تفریق کنید.

$$5x+2y=45$$

دومین معادله را در نظر بگیرید. هر دو سوی معادله در 12، کوچکترین مضرب مشترک 4,3، ضرب شود.

$$3\left(3x-4y+3\right)+4\left(4x-2y-9\right)=48$$

از اموال توزیعی برای ضرب 3 در 3x-4y+3 استفاده کنید.

$$9x-12y+9+4\left(4x-2y-9\right)=48$$

از اموال توزیعی برای ضرب 4 در 4x-2y-9 استفاده کنید.

$$9x-12y+9+16x-8y-36=48$$

9x و 16x را برای به دست آوردن 25x ترکیب کنید.

$$25x-12y+9-8y-36=48$$

-12y و -8y را برای به دست آوردن -20y ترکیب کنید.

$$25x-20y+9-36=48$$

تفریق 36 را از 9 برای به دست آوردن -27 تفریق کنید.

$$25x-20y-27=48$$

27 را به هر دو طرف اضافه کنید.

$$25x-20y=48+27$$

48 و 27 را برای دریافت 75 اضافه کنید.

$$25x-20y=75$$

برای حل با استفاده از حذف، ضرایب یکی از متغیرها باید در هر دو معادله مشابه باشد، بنابراین متغیر در زمانی که یک معادله از معادله دیگر تفریق می‌شود، برابر خواهد شد.

$$5x+2y=45,25x-20y=75$$

برای مساوی کردن 5x و 25x، همه عبارت‌های موجود در هر طرف معادله اول را در 25 و همه عبارت‌های موجود در هر طرف معادله دوم را در 5 ضرب کنید.

$$25\times 5x+25\times 2y=25\times 45,5\times 25x+5\left(-20\right)y=5\times 75$$

ساده کنید.

$$125x+50y=1125,125x-100y=375$$

125x-100y=375 را از 125x+50y=1125 با کم کردن جمله‌های دارای متغیر مساوی در هر طرف علامت مساوی تفریق کنید.

$$125x-125x+50y+100y=1125-375$$

125x را به -125x اضافه کنید. عبارت‌های 125x و -125x با هم ساده می‌شوند و معادله تنها با یک متغیر باقی می‌ماند که می‌توان آن را حل کرد.

$$50y+100y=1125-375$$

50y را به 100y اضافه کنید.

$$150y=1125-375$$

1125 را به -375 اضافه کنید.

$$150y=750$$

هر دو طرف بر 150 تقسیم شوند.

$$y=5$$

5 را با y در 25x-20y=75 جایگزین کنید. از آنجایی که معادله حاصل شامل تنها یک متغیر است، می‌توانید به طور مستقیم برای x حل کنید.

$$25x-20\times 5=75$$

-20 بار 5.

$$25x-100=75$$

100 را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$25x=175$$

هر دو طرف بر 25 تقسیم شوند.

$$x=7$$

سیستم در حال حاضر حل شده است.

$$x=7,y=5$$