حل {l}{78x+40y=1280}{120x+80y=2800}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 78 x + 40 y = 1280 } \\ { 120 x + 80 y = 2800 } \end{array} \right.$$

برای x،y حل کنید

$$x = -\frac{20}{3} = -6\frac{2}{3} \approx -6.666666667$$

$$y=45$$

مراحل استفاده از جایگزینی

برای حل یک سری معادله با استفاده از جایگزینی، ابتدا یکی از معادله‌ها را برای یکی از متغیرها حل کنید. سپس نتیجه را برای آن متغیر در معادله دیگر جایگزین کنید.

$$78x+40y=1280,120x+80y=2800$$

یکی از معادلات را انتخاب کنید و با تنها نگه داشتن x در سمت چپ علامت مساوی و حل معادله، x را به دست آورید.

$$78x+40y=1280$$

40y را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$78x=-40y+1280$$

هر دو طرف بر 78 تقسیم شوند.

$$x=\frac{1}{78}\left(-40y+1280\right)$$

\frac{1}{78} بار -40y+1280.

$$x=-\frac{20}{39}y+\frac{640}{39}$$

\frac{-20y+640}{39} را با x در معادله جایگزین کنید، 120x+80y=2800.

$$120\left(-\frac{20}{39}y+\frac{640}{39}\right)+80y=2800$$

120 بار \frac{-20y+640}{39}.

$$-\frac{800}{13}y+\frac{25600}{13}+80y=2800$$

-\frac{800y}{13} را به 80y اضافه کنید.

$$\frac{240}{13}y+\frac{25600}{13}=2800$$

\frac{25600}{13} را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$\frac{240}{13}y=\frac{10800}{13}$$

هر دو طرف معادله را بر \frac{240}{13} تقسیم کنید که مشابه ضرب هر دو طرف در اعداد متقابل کسر است.

$$y=45$$

45 را با y در x=-\frac{20}{39}y+\frac{640}{39} جایگزین کنید. از آنجایی که معادله حاصل شامل تنها یک متغیر است، می‌توانید به طور مستقیم برای x حل کنید.

$$x=-\frac{20}{39}\times 45+\frac{640}{39}$$

-\frac{20}{39} بار 45.

$$x=-\frac{300}{13}+\frac{640}{39}$$

با یافتن یک مخرج مشترک و اضافه کردن صورت کسرها، \frac{640}{39} را به -\frac{300}{13} اضافه کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین حالت ممکن ساده کنید.

$$x=-\frac{20}{3}$$

سیستم در حال حاضر حل شده است.

$$x=-\frac{20}{3},y=45$$

مراحل استفاده از ماتریس

معادلات را در قالب استاندارد قرار داده و سپس از ماتریس‌ها برای حل سیستم معادلات استفاده کنید.

$$78x+40y=1280,120x+80y=2800$$

معادله‌ها را به شکل ماتریس بنویسید.

$$\left(\begin{matrix}78&40\\120&80\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)$$

معادله را از سمت چپ در ماتریس وارون \left(\begin{matrix}78&40\\120&80\end{matrix}\right) ضرب کنید.

$$inverse(\left(\begin{matrix}78&40\\120&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}78&40\\120&80\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}78&40\\120&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)$$

حاصل ماتریس و وارون آن ماتریس همانی است.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}78&40\\120&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)$$

ماتریس‌های سمت چپ علامت مساوی را ضرب کنید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}78&40\\120&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)$$

برای ماتریس 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، ماتریس معکوس \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) است، بنابراین معادله ماتریس می‌تواند به‌صورت مسئله ضرب ماتریس بازنویسی شود.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{80}{78\times 80-40\times 120}&-\frac{40}{78\times 80-40\times 120}\\-\frac{120}{78\times 80-40\times 120}&\frac{78}{78\times 80-40\times 120}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)$$

محاسبات را انجام دهید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{18}&-\frac{1}{36}\\-\frac{1}{12}&\frac{13}{240}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)$$

ماتریس‌ها را ضرب کنید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{18}\times 1280-\frac{1}{36}\times 2800\\-\frac{1}{12}\times 1280+\frac{13}{240}\times 2800\end{matrix}\right)$$

محاسبات را انجام دهید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{20}{3}\\45\end{matrix}\right)$$

عناصر ماتریس x و y را استخراج کنید.

$$x=-\frac{20}{3},y=45$$

مراحل استفاده از حذف

برای حل با استفاده از حذف، ضرایب یکی از متغیرها باید در هر دو معادله مشابه باشد، بنابراین متغیر در زمانی که یک معادله از معادله دیگر تفریق می‌شود، برابر خواهد شد.

$$78x+40y=1280,120x+80y=2800$$

برای مساوی کردن 78x و 120x، همه عبارت‌های موجود در هر طرف معادله اول را در 120 و همه عبارت‌های موجود در هر طرف معادله دوم را در 78 ضرب کنید.

$$120\times 78x+120\times 40y=120\times 1280,78\times 120x+78\times 80y=78\times 2800$$

ساده کنید.

$$9360x+4800y=153600,9360x+6240y=218400$$

9360x+6240y=218400 را از 9360x+4800y=153600 با کم کردن جمله‌های دارای متغیر مساوی در هر طرف علامت مساوی تفریق کنید.

$$9360x-9360x+4800y-6240y=153600-218400$$

9360x را به -9360x اضافه کنید. عبارت‌های 9360x و -9360x با هم ساده می‌شوند و معادله تنها با یک متغیر باقی می‌ماند که می‌توان آن را حل کرد.

$$4800y-6240y=153600-218400$$

4800y را به -6240y اضافه کنید.

$$-1440y=153600-218400$$

153600 را به -218400 اضافه کنید.

$$-1440y=-64800$$

هر دو طرف بر -1440 تقسیم شوند.

$$y=45$$

45 را با y در 120x+80y=2800 جایگزین کنید. از آنجایی که معادله حاصل شامل تنها یک متغیر است، می‌توانید به طور مستقیم برای x حل کنید.

$$120x+80\times 45=2800$$

80 بار 45.

$$120x+3600=2800$$

3600 را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$120x=-800$$

هر دو طرف بر 120 تقسیم شوند.

$$x=-\frac{20}{3}$$

سیستم در حال حاضر حل شده است.

$$x=-\frac{20}{3},y=45$$