حل {l}{6x-18y=-85}{24x-5y=-5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 6 x - 18 y = - 85 } \\ { 24 x - 5 y = - 5 } \end{array} \right.$$

برای x،y حل کنید

$$x=\frac{5}{6}\approx 0.833333333$$

$$y=5$$

مراحل استفاده از جایگزینی

برای حل یک سری معادله با استفاده از جایگزینی، ابتدا یکی از معادله‌ها را برای یکی از متغیرها حل کنید. سپس نتیجه را برای آن متغیر در معادله دیگر جایگزین کنید.

$$6x-18y=-85,24x-5y=-5$$

یکی از معادلات را انتخاب کنید و با تنها نگه داشتن x در سمت چپ علامت مساوی و حل معادله، x را به دست آورید.

$$6x-18y=-85$$

18y را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$6x=18y-85$$

هر دو طرف بر 6 تقسیم شوند.

$$x=\frac{1}{6}\left(18y-85\right)$$

\frac{1}{6} بار 18y-85.

$$x=3y-\frac{85}{6}$$

3y-\frac{85}{6} را با x در معادله جایگزین کنید، 24x-5y=-5.

$$24\left(3y-\frac{85}{6}\right)-5y=-5$$

24 بار 3y-\frac{85}{6}.

$$72y-340-5y=-5$$

72y را به -5y اضافه کنید.

$$67y-340=-5$$

340 را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$67y=335$$

هر دو طرف بر 67 تقسیم شوند.

$$y=5$$

5 را با y در x=3y-\frac{85}{6} جایگزین کنید. از آنجایی که معادله حاصل شامل تنها یک متغیر است، می‌توانید به طور مستقیم برای x حل کنید.

$$x=3\times 5-\frac{85}{6}$$

3 بار 5.

$$x=15-\frac{85}{6}$$

-\frac{85}{6} را به 15 اضافه کنید.

$$x=\frac{5}{6}$$

سیستم در حال حاضر حل شده است.

$$x=\frac{5}{6},y=5$$

مراحل استفاده از ماتریس

معادلات را در قالب استاندارد قرار داده و سپس از ماتریس‌ها برای حل سیستم معادلات استفاده کنید.

$$6x-18y=-85,24x-5y=-5$$

معادله‌ها را به شکل ماتریس بنویسید.

$$\left(\begin{matrix}6&-18\\24&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-85\\-5\end{matrix}\right)$$

معادله را از سمت چپ در ماتریس وارون \left(\begin{matrix}6&-18\\24&-5\end{matrix}\right) ضرب کنید.

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&-18\\24&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&-18\\24&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-18\\24&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-85\\-5\end{matrix}\right)$$

حاصل ماتریس و وارون آن ماتریس همانی است.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-18\\24&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-85\\-5\end{matrix}\right)$$

ماتریس‌های سمت چپ علامت مساوی را ضرب کنید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-18\\24&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-85\\-5\end{matrix}\right)$$

برای ماتریس 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، ماتریس معکوس \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) است، بنابراین معادله ماتریس می‌تواند به‌صورت مسئله ضرب ماتریس بازنویسی شود.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{6\left(-5\right)-\left(-18\times 24\right)}&-\frac{-18}{6\left(-5\right)-\left(-18\times 24\right)}\\-\frac{24}{6\left(-5\right)-\left(-18\times 24\right)}&\frac{6}{6\left(-5\right)-\left(-18\times 24\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-85\\-5\end{matrix}\right)$$

محاسبات را انجام دهید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{402}&\frac{3}{67}\\-\frac{4}{67}&\frac{1}{67}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-85\\-5\end{matrix}\right)$$

ماتریس‌ها را ضرب کنید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{402}\left(-85\right)+\frac{3}{67}\left(-5\right)\\-\frac{4}{67}\left(-85\right)+\frac{1}{67}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

محاسبات را انجام دهید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{6}\\5\end{matrix}\right)$$

عناصر ماتریس x و y را استخراج کنید.

$$x=\frac{5}{6},y=5$$

مراحل استفاده از حذف

برای حل با استفاده از حذف، ضرایب یکی از متغیرها باید در هر دو معادله مشابه باشد، بنابراین متغیر در زمانی که یک معادله از معادله دیگر تفریق می‌شود، برابر خواهد شد.

$$6x-18y=-85,24x-5y=-5$$

برای مساوی کردن 6x و 24x، همه عبارت‌های موجود در هر طرف معادله اول را در 24 و همه عبارت‌های موجود در هر طرف معادله دوم را در 6 ضرب کنید.

$$24\times 6x+24\left(-18\right)y=24\left(-85\right),6\times 24x+6\left(-5\right)y=6\left(-5\right)$$

ساده کنید.

$$144x-432y=-2040,144x-30y=-30$$

144x-30y=-30 را از 144x-432y=-2040 با کم کردن جمله‌های دارای متغیر مساوی در هر طرف علامت مساوی تفریق کنید.

$$144x-144x-432y+30y=-2040+30$$

144x را به -144x اضافه کنید. عبارت‌های 144x و -144x با هم ساده می‌شوند و معادله تنها با یک متغیر باقی می‌ماند که می‌توان آن را حل کرد.

$$-432y+30y=-2040+30$$

-432y را به 30y اضافه کنید.

$$-402y=-2040+30$$

-2040 را به 30 اضافه کنید.

$$-402y=-2010$$

هر دو طرف بر -402 تقسیم شوند.

$$y=5$$

5 را با y در 24x-5y=-5 جایگزین کنید. از آنجایی که معادله حاصل شامل تنها یک متغیر است، می‌توانید به طور مستقیم برای x حل کنید.

$$24x-5\times 5=-5$$

-5 بار 5.

$$24x-25=-5$$

25 را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$24x=20$$

هر دو طرف بر 24 تقسیم شوند.

$$x=\frac{5}{6}$$

سیستم در حال حاضر حل شده است.

$$x=\frac{5}{6},y=5$$