حل {l}{40x+720y=112}{120x+2205y=340.5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 40 x + 720 y = 112 } \\ { 120 x + 2205 y = 340.5 } \end{array} \right.$$

برای x،y حل کنید

$$x=1$$

$$y=0.1$$

مراحل استفاده از جایگزینی

برای حل یک سری معادله با استفاده از جایگزینی، ابتدا یکی از معادله‌ها را برای یکی از متغیرها حل کنید. سپس نتیجه را برای آن متغیر در معادله دیگر جایگزین کنید.

$$40x+720y=112,120x+2205y=340.5$$

یکی از معادلات را انتخاب کنید و با تنها نگه داشتن x در سمت چپ علامت مساوی و حل معادله، x را به دست آورید.

$$40x+720y=112$$

720y را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$40x=-720y+112$$

هر دو طرف بر 40 تقسیم شوند.

$$x=\frac{1}{40}\left(-720y+112\right)$$

\frac{1}{40} بار -720y+112.

$$x=-18y+\frac{14}{5}$$

-18y+\frac{14}{5} را با x در معادله جایگزین کنید، 120x+2205y=340.5.

$$120\left(-18y+\frac{14}{5}\right)+2205y=340.5$$

120 بار -18y+\frac{14}{5}.

$$-2160y+336+2205y=340.5$$

-2160y را به 2205y اضافه کنید.

$$45y+336=340.5$$

336 را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$45y=4.5$$

هر دو طرف بر 45 تقسیم شوند.

$$y=0.1$$

0.1 را با y در x=-18y+\frac{14}{5} جایگزین کنید. از آنجایی که معادله حاصل شامل تنها یک متغیر است، می‌توانید به طور مستقیم برای x حل کنید.

$$x=-18\times 0.1+\frac{14}{5}$$

-18 بار 0.1.

$$x=\frac{-9+14}{5}$$

با یافتن یک مخرج مشترک و اضافه کردن صورت کسرها، \frac{14}{5} را به -1.8 اضافه کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین حالت ممکن ساده کنید.

$$x=1$$

سیستم در حال حاضر حل شده است.

$$x=1,y=0.1$$

مراحل استفاده از ماتریس

معادلات را در قالب استاندارد قرار داده و سپس از ماتریس‌ها برای حل سیستم معادلات استفاده کنید.

$$40x+720y=112,120x+2205y=340.5$$

معادله‌ها را به شکل ماتریس بنویسید.

$$\left(\begin{matrix}40&720\\120&2205\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}112\\340.5\end{matrix}\right)$$

معادله را از سمت چپ در ماتریس وارون \left(\begin{matrix}40&720\\120&2205\end{matrix}\right) ضرب کنید.

$$inverse(\left(\begin{matrix}40&720\\120&2205\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40&720\\120&2205\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}40&720\\120&2205\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}112\\340.5\end{matrix}\right)$$

حاصل ماتریس و وارون آن ماتریس همانی است.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}40&720\\120&2205\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}112\\340.5\end{matrix}\right)$$

ماتریس‌های سمت چپ علامت مساوی را ضرب کنید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}40&720\\120&2205\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}112\\340.5\end{matrix}\right)$$

برای ماتریس 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، ماتریس معکوس \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) است، بنابراین معادله ماتریس می‌تواند به‌صورت مسئله ضرب ماتریس بازنویسی شود.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2205}{40\times 2205-720\times 120}&-\frac{720}{40\times 2205-720\times 120}\\-\frac{120}{40\times 2205-720\times 120}&\frac{40}{40\times 2205-720\times 120}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}112\\340.5\end{matrix}\right)$$

محاسبات را انجام دهید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{49}{40}&-\frac{2}{5}\\-\frac{1}{15}&\frac{1}{45}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}112\\340.5\end{matrix}\right)$$

ماتریس‌ها را ضرب کنید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{49}{40}\times 112-\frac{2}{5}\times 340.5\\-\frac{1}{15}\times 112+\frac{1}{45}\times 340.5\end{matrix}\right)$$

محاسبات را انجام دهید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\\frac{1}{10}\end{matrix}\right)$$

عناصر ماتریس x و y را استخراج کنید.

$$x=1,y=\frac{1}{10}$$

مراحل استفاده از حذف

برای حل با استفاده از حذف، ضرایب یکی از متغیرها باید در هر دو معادله مشابه باشد، بنابراین متغیر در زمانی که یک معادله از معادله دیگر تفریق می‌شود، برابر خواهد شد.

$$40x+720y=112,120x+2205y=340.5$$

برای مساوی کردن 40x و 120x، همه عبارت‌های موجود در هر طرف معادله اول را در 120 و همه عبارت‌های موجود در هر طرف معادله دوم را در 40 ضرب کنید.

$$120\times 40x+120\times 720y=120\times 112,40\times 120x+40\times 2205y=40\times 340.5$$

ساده کنید.

$$4800x+86400y=13440,4800x+88200y=13620$$

4800x+88200y=13620 را از 4800x+86400y=13440 با کم کردن جمله‌های دارای متغیر مساوی در هر طرف علامت مساوی تفریق کنید.

$$4800x-4800x+86400y-88200y=13440-13620$$

4800x را به -4800x اضافه کنید. عبارت‌های 4800x و -4800x با هم ساده می‌شوند و معادله تنها با یک متغیر باقی می‌ماند که می‌توان آن را حل کرد.

$$86400y-88200y=13440-13620$$

86400y را به -88200y اضافه کنید.

$$-1800y=13440-13620$$

13440 را به -13620 اضافه کنید.

$$-1800y=-180$$

هر دو طرف بر -1800 تقسیم شوند.

$$y=\frac{1}{10}$$

\frac{1}{10} را با y در 120x+2205y=340.5 جایگزین کنید. از آنجایی که معادله حاصل شامل تنها یک متغیر است، می‌توانید به طور مستقیم برای x حل کنید.

$$120x+2205\times \frac{1}{10}=340.5$$

2205 بار \frac{1}{10}.

$$120x+\frac{441}{2}=340.5$$

\frac{441}{2} را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$120x=120$$

هر دو طرف بر 120 تقسیم شوند.

$$x=1$$

سیستم در حال حاضر حل شده است.

$$x=1,y=\frac{1}{10}$$