حل {l}{4x+3y=71}{7x+5y=120}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 x + 3 y = 71 } \\ { 7 x + 5 y = 120 } \end{array} \right.$$

برای x،y حل کنید

$$x=5$$

$$y=17$$

مراحل استفاده از جایگزینی

برای حل یک سری معادله با استفاده از جایگزینی، ابتدا یکی از معادله‌ها را برای یکی از متغیرها حل کنید. سپس نتیجه را برای آن متغیر در معادله دیگر جایگزین کنید.

$$4x+3y=71,7x+5y=120$$

یکی از معادلات را انتخاب کنید و با تنها نگه داشتن x در سمت چپ علامت مساوی و حل معادله، x را به دست آورید.

$$4x+3y=71$$

3y را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$4x=-3y+71$$

هر دو طرف بر 4 تقسیم شوند.

$$x=\frac{1}{4}\left(-3y+71\right)$$

\frac{1}{4} بار -3y+71.

$$x=-\frac{3}{4}y+\frac{71}{4}$$

\frac{-3y+71}{4} را با x در معادله جایگزین کنید، 7x+5y=120.

$$7\left(-\frac{3}{4}y+\frac{71}{4}\right)+5y=120$$

7 بار \frac{-3y+71}{4}.

$$-\frac{21}{4}y+\frac{497}{4}+5y=120$$

-\frac{21y}{4} را به 5y اضافه کنید.

$$-\frac{1}{4}y+\frac{497}{4}=120$$

\frac{497}{4} را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$-\frac{1}{4}y=-\frac{17}{4}$$

هر دو طرف در -4 ضرب شوند.

$$y=17$$

17 را با y در x=-\frac{3}{4}y+\frac{71}{4} جایگزین کنید. از آنجایی که معادله حاصل شامل تنها یک متغیر است، می‌توانید به طور مستقیم برای x حل کنید.

$$x=-\frac{3}{4}\times 17+\frac{71}{4}$$

-\frac{3}{4} بار 17.

$$x=\frac{-51+71}{4}$$

با یافتن یک مخرج مشترک و اضافه کردن صورت کسرها، \frac{71}{4} را به -\frac{51}{4} اضافه کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین حالت ممکن ساده کنید.

$$x=5$$

سیستم در حال حاضر حل شده است.

$$x=5,y=17$$

مراحل استفاده از ماتریس

معادلات را در قالب استاندارد قرار داده و سپس از ماتریس‌ها برای حل سیستم معادلات استفاده کنید.

$$4x+3y=71,7x+5y=120$$

معادله‌ها را به شکل ماتریس بنویسید.

$$\left(\begin{matrix}4&3\\7&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}71\\120\end{matrix}\right)$$

معادله را از سمت چپ در ماتریس وارون \left(\begin{matrix}4&3\\7&5\end{matrix}\right) ضرب کنید.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&3\\7&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}71\\120\end{matrix}\right)$$

حاصل ماتریس و وارون آن ماتریس همانی است.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}71\\120\end{matrix}\right)$$

ماتریس‌های سمت چپ علامت مساوی را ضرب کنید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}71\\120\end{matrix}\right)$$

برای ماتریس 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، ماتریس معکوس \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) است، بنابراین معادله ماتریس می‌تواند به‌صورت مسئله ضرب ماتریس بازنویسی شود.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4\times 5-3\times 7}&-\frac{3}{4\times 5-3\times 7}\\-\frac{7}{4\times 5-3\times 7}&\frac{4}{4\times 5-3\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}71\\120\end{matrix}\right)$$

محاسبات را انجام دهید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5&3\\7&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}71\\120\end{matrix}\right)$$

ماتریس‌ها را ضرب کنید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\times 71+3\times 120\\7\times 71-4\times 120\end{matrix}\right)$$

محاسبات را انجام دهید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\17\end{matrix}\right)$$

عناصر ماتریس x و y را استخراج کنید.

$$x=5,y=17$$

مراحل استفاده از حذف

برای حل با استفاده از حذف، ضرایب یکی از متغیرها باید در هر دو معادله مشابه باشد، بنابراین متغیر در زمانی که یک معادله از معادله دیگر تفریق می‌شود، برابر خواهد شد.

$$4x+3y=71,7x+5y=120$$

برای مساوی کردن 4x و 7x، همه عبارت‌های موجود در هر طرف معادله اول را در 7 و همه عبارت‌های موجود در هر طرف معادله دوم را در 4 ضرب کنید.

$$7\times 4x+7\times 3y=7\times 71,4\times 7x+4\times 5y=4\times 120$$

ساده کنید.

$$28x+21y=497,28x+20y=480$$

28x+20y=480 را از 28x+21y=497 با کم کردن جمله‌های دارای متغیر مساوی در هر طرف علامت مساوی تفریق کنید.

$$28x-28x+21y-20y=497-480$$

28x را به -28x اضافه کنید. عبارت‌های 28x و -28x با هم ساده می‌شوند و معادله تنها با یک متغیر باقی می‌ماند که می‌توان آن را حل کرد.

$$21y-20y=497-480$$

21y را به -20y اضافه کنید.

$$y=497-480$$

497 را به -480 اضافه کنید.

$$y=17$$

17 را با y در 7x+5y=120 جایگزین کنید. از آنجایی که معادله حاصل شامل تنها یک متغیر است، می‌توانید به طور مستقیم برای x حل کنید.

$$7x+5\times 17=120$$

5 بار 17.

$$7x+85=120$$

85 را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$7x=35$$

هر دو طرف بر 7 تقسیم شوند.

$$x=5$$

سیستم در حال حاضر حل شده است.

$$x=5,y=17$$