حل {l}{3x+2y=180}{5x+4y=620}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + 2 y = 180 } \\ { 5 x + 4 y = 620 } \end{array} \right.$$

برای x،y حل کنید

$$x=-260$$

$$y=480$$

مراحل استفاده از جایگزینی

برای حل یک سری معادله با استفاده از جایگزینی، ابتدا یکی از معادله‌ها را برای یکی از متغیرها حل کنید. سپس نتیجه را برای آن متغیر در معادله دیگر جایگزین کنید.

$$3x+2y=180,5x+4y=620$$

یکی از معادلات را انتخاب کنید و با تنها نگه داشتن x در سمت چپ علامت مساوی و حل معادله، x را به دست آورید.

$$3x+2y=180$$

2y را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$3x=-2y+180$$

هر دو طرف بر 3 تقسیم شوند.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+180\right)$$

\frac{1}{3} بار -2y+180.

$$x=-\frac{2}{3}y+60$$

-\frac{2y}{3}+60 را با x در معادله جایگزین کنید، 5x+4y=620.

$$5\left(-\frac{2}{3}y+60\right)+4y=620$$

5 بار -\frac{2y}{3}+60.

$$-\frac{10}{3}y+300+4y=620$$

-\frac{10y}{3} را به 4y اضافه کنید.

$$\frac{2}{3}y+300=620$$

300 را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$\frac{2}{3}y=320$$

هر دو طرف معادله را بر \frac{2}{3} تقسیم کنید که مشابه ضرب هر دو طرف در اعداد متقابل کسر است.

$$y=480$$

480 را با y در x=-\frac{2}{3}y+60 جایگزین کنید. از آنجایی که معادله حاصل شامل تنها یک متغیر است، می‌توانید به طور مستقیم برای x حل کنید.

$$x=-\frac{2}{3}\times 480+60$$

-\frac{2}{3} بار 480.

$$x=-320+60$$

60 را به -320 اضافه کنید.

$$x=-260$$

سیستم در حال حاضر حل شده است.

$$x=-260,y=480$$

مراحل استفاده از ماتریس

معادلات را در قالب استاندارد قرار داده و سپس از ماتریس‌ها برای حل سیستم معادلات استفاده کنید.

$$3x+2y=180,5x+4y=620$$

معادله‌ها را به شکل ماتریس بنویسید.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\5&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}180\\620\end{matrix}\right)$$

معادله را از سمت چپ در ماتریس وارون \left(\begin{matrix}3&2\\5&4\end{matrix}\right) ضرب کنید.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\5&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}180\\620\end{matrix}\right)$$

حاصل ماتریس و وارون آن ماتریس همانی است.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}180\\620\end{matrix}\right)$$

ماتریس‌های سمت چپ علامت مساوی را ضرب کنید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}180\\620\end{matrix}\right)$$

برای ماتریس 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، ماتریس معکوس \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) است، بنابراین معادله ماتریس می‌تواند به‌صورت مسئله ضرب ماتریس بازنویسی شود.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3\times 4-2\times 5}&-\frac{2}{3\times 4-2\times 5}\\-\frac{5}{3\times 4-2\times 5}&\frac{3}{3\times 4-2\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}180\\620\end{matrix}\right)$$

محاسبات را انجام دهید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&-1\\-\frac{5}{2}&\frac{3}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}180\\620\end{matrix}\right)$$

ماتریس‌ها را ضرب کنید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\times 180-620\\-\frac{5}{2}\times 180+\frac{3}{2}\times 620\end{matrix}\right)$$

محاسبات را انجام دهید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-260\\480\end{matrix}\right)$$

عناصر ماتریس x و y را استخراج کنید.

$$x=-260,y=480$$

مراحل استفاده از حذف

برای حل با استفاده از حذف، ضرایب یکی از متغیرها باید در هر دو معادله مشابه باشد، بنابراین متغیر در زمانی که یک معادله از معادله دیگر تفریق می‌شود، برابر خواهد شد.

$$3x+2y=180,5x+4y=620$$

برای مساوی کردن 3x و 5x، همه عبارت‌های موجود در هر طرف معادله اول را در 5 و همه عبارت‌های موجود در هر طرف معادله دوم را در 3 ضرب کنید.

$$5\times 3x+5\times 2y=5\times 180,3\times 5x+3\times 4y=3\times 620$$

ساده کنید.

$$15x+10y=900,15x+12y=1860$$

15x+12y=1860 را از 15x+10y=900 با کم کردن جمله‌های دارای متغیر مساوی در هر طرف علامت مساوی تفریق کنید.

$$15x-15x+10y-12y=900-1860$$

15x را به -15x اضافه کنید. عبارت‌های 15x و -15x با هم ساده می‌شوند و معادله تنها با یک متغیر باقی می‌ماند که می‌توان آن را حل کرد.

$$10y-12y=900-1860$$

10y را به -12y اضافه کنید.

$$-2y=900-1860$$

900 را به -1860 اضافه کنید.

$$-2y=-960$$

هر دو طرف بر -2 تقسیم شوند.

$$y=480$$

480 را با y در 5x+4y=620 جایگزین کنید. از آنجایی که معادله حاصل شامل تنها یک متغیر است، می‌توانید به طور مستقیم برای x حل کنید.

$$5x+4\times 480=620$$

4 بار 480.

$$5x+1920=620$$

1920 را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$5x=-1300$$

هر دو طرف بر 5 تقسیم شوند.

$$x=-260$$

سیستم در حال حاضر حل شده است.

$$x=-260,y=480$$