حل {l}{150y+200x=1000}{100y+400x=1200}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 150 y + 200 x = 1000 } \\ { 100 y + 400 x = 1200 } \end{array} \right.$$

برای y،x حل کنید

$$x=2$$

$$y=4$$

مراحل استفاده از جایگزینی

برای حل یک سری معادله با استفاده از جایگزینی، ابتدا یکی از معادله‌ها را برای یکی از متغیرها حل کنید. سپس نتیجه را برای آن متغیر در معادله دیگر جایگزین کنید.

$$150y+200x=1000,100y+400x=1200$$

یکی از معادلات را انتخاب کنید و با تنها نگه داشتن y در سمت چپ علامت مساوی و حل معادله، y را به دست آورید.

$$150y+200x=1000$$

200x را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$150y=-200x+1000$$

هر دو طرف بر 150 تقسیم شوند.

$$y=\frac{1}{150}\left(-200x+1000\right)$$

\frac{1}{150} بار -200x+1000.

$$y=-\frac{4}{3}x+\frac{20}{3}$$

\frac{-4x+20}{3} را با y در معادله جایگزین کنید، 100y+400x=1200.

$$100\left(-\frac{4}{3}x+\frac{20}{3}\right)+400x=1200$$

100 بار \frac{-4x+20}{3}.

$$-\frac{400}{3}x+\frac{2000}{3}+400x=1200$$

-\frac{400x}{3} را به 400x اضافه کنید.

$$\frac{800}{3}x+\frac{2000}{3}=1200$$

\frac{2000}{3} را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$\frac{800}{3}x=\frac{1600}{3}$$

هر دو طرف معادله را بر \frac{800}{3} تقسیم کنید که مشابه ضرب هر دو طرف در اعداد متقابل کسر است.

$$x=2$$

2 را با x در y=-\frac{4}{3}x+\frac{20}{3} جایگزین کنید. از آنجایی که معادله حاصل شامل تنها یک متغیر است، می‌توانید به طور مستقیم برای y حل کنید.

$$y=-\frac{4}{3}\times 2+\frac{20}{3}$$

-\frac{4}{3} بار 2.

$$y=\frac{-8+20}{3}$$

با یافتن یک مخرج مشترک و اضافه کردن صورت کسرها، \frac{20}{3} را به -\frac{8}{3} اضافه کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین حالت ممکن ساده کنید.

$$y=4$$

سیستم در حال حاضر حل شده است.

$$y=4,x=2$$

مراحل استفاده از ماتریس

معادلات را در قالب استاندارد قرار داده و سپس از ماتریس‌ها برای حل سیستم معادلات استفاده کنید.

$$150y+200x=1000,100y+400x=1200$$

معادله‌ها را به شکل ماتریس بنویسید.

$$\left(\begin{matrix}150&200\\100&400\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1000\\1200\end{matrix}\right)$$

معادله را از سمت چپ در ماتریس وارون \left(\begin{matrix}150&200\\100&400\end{matrix}\right) ضرب کنید.

$$inverse(\left(\begin{matrix}150&200\\100&400\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}150&200\\100&400\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}150&200\\100&400\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1000\\1200\end{matrix}\right)$$

حاصل ماتریس و وارون آن ماتریس همانی است.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}150&200\\100&400\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1000\\1200\end{matrix}\right)$$

ماتریس‌های سمت چپ علامت مساوی را ضرب کنید.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}150&200\\100&400\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1000\\1200\end{matrix}\right)$$

برای ماتریس 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، ماتریس معکوس \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) است، بنابراین معادله ماتریس می‌تواند به‌صورت مسئله ضرب ماتریس بازنویسی شود.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{400}{150\times 400-200\times 100}&-\frac{200}{150\times 400-200\times 100}\\-\frac{100}{150\times 400-200\times 100}&\frac{150}{150\times 400-200\times 100}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1000\\1200\end{matrix}\right)$$

محاسبات را انجام دهید.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{100}&-\frac{1}{200}\\-\frac{1}{400}&\frac{3}{800}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1000\\1200\end{matrix}\right)$$

ماتریس‌ها را ضرب کنید.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{100}\times 1000-\frac{1}{200}\times 1200\\-\frac{1}{400}\times 1000+\frac{3}{800}\times 1200\end{matrix}\right)$$

محاسبات را انجام دهید.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

عناصر ماتریس y و x را استخراج کنید.

$$y=4,x=2$$

مراحل استفاده از حذف

برای حل با استفاده از حذف، ضرایب یکی از متغیرها باید در هر دو معادله مشابه باشد، بنابراین متغیر در زمانی که یک معادله از معادله دیگر تفریق می‌شود، برابر خواهد شد.

$$150y+200x=1000,100y+400x=1200$$

برای مساوی کردن 150y و 100y، همه عبارت‌های موجود در هر طرف معادله اول را در 100 و همه عبارت‌های موجود در هر طرف معادله دوم را در 150 ضرب کنید.

$$100\times 150y+100\times 200x=100\times 1000,150\times 100y+150\times 400x=150\times 1200$$

ساده کنید.

$$15000y+20000x=100000,15000y+60000x=180000$$

15000y+60000x=180000 را از 15000y+20000x=100000 با کم کردن جمله‌های دارای متغیر مساوی در هر طرف علامت مساوی تفریق کنید.

$$15000y-15000y+20000x-60000x=100000-180000$$

15000y را به -15000y اضافه کنید. عبارت‌های 15000y و -15000y با هم ساده می‌شوند و معادله تنها با یک متغیر باقی می‌ماند که می‌توان آن را حل کرد.

$$20000x-60000x=100000-180000$$

20000x را به -60000x اضافه کنید.

$$-40000x=100000-180000$$

100000 را به -180000 اضافه کنید.

$$-40000x=-80000$$

هر دو طرف بر -40000 تقسیم شوند.

$$x=2$$

2 را با x در 100y+400x=1200 جایگزین کنید. از آنجایی که معادله حاصل شامل تنها یک متغیر است، می‌توانید به طور مستقیم برای y حل کنید.

$$100y+400\times 2=1200$$

400 بار 2.

$$100y+800=1200$$

800 را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$100y=400$$

هر دو طرف بر 100 تقسیم شوند.

$$y=4$$

سیستم در حال حاضر حل شده است.

$$y=4,x=2$$