حل {c}{3y-9=4x-4y+5}{5y-3=-(x+2)+1+2y}

$$\left\{ \begin{array} { c } { 3 y - 9 = 4 x - 4 y + 5 } \\ { 5 y - 3 = - ( x + 2 ) + 1 + 2 y } \end{array} \right.$$

برای y،x حل کنید

$$x = -\frac{28}{19} = -1\frac{9}{19} \approx -1.473684211$$

$$y = \frac{22}{19} = 1\frac{3}{19} \approx 1.157894737$$

مراحل استفاده از جایگزینی

اولین معادله را در نظر بگیرید. 4x را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$3y-9-4x=-4y+5$$

4y را به هر دو طرف اضافه کنید.

$$3y-9-4x+4y=5$$

3y و 4y را برای به دست آوردن 7y ترکیب کنید.

$$7y-9-4x=5$$

9 را به هر دو طرف اضافه کنید.

$$7y-4x=5+9$$

5 و 9 را برای دریافت 14 اضافه کنید.

$$7y-4x=14$$

دومین معادله را در نظر بگیرید. برای پیدا کردن متضاد x+2، متضاد هر اصطلاح پیدا شود.

$$5y-3=-x-2+1+2y$$

-2 و 1 را برای دریافت -1 اضافه کنید.

$$5y-3=-x-1+2y$$

x را به هر دو طرف اضافه کنید.

$$5y-3+x=-1+2y$$

2y را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$5y-3+x-2y=-1$$

5y و -2y را برای به دست آوردن 3y ترکیب کنید.

$$3y-3+x=-1$$

3 را به هر دو طرف اضافه کنید.

$$3y+x=-1+3$$

-1 و 3 را برای دریافت 2 اضافه کنید.

$$3y+x=2$$

برای حل یک سری معادله با استفاده از جایگزینی، ابتدا یکی از معادله‌ها را برای یکی از متغیرها حل کنید. سپس نتیجه را برای آن متغیر در معادله دیگر جایگزین کنید.

$$7y-4x=14,3y+x=2$$

یکی از معادلات را انتخاب کنید و با تنها نگه داشتن y در سمت چپ علامت مساوی و حل معادله، y را به دست آورید.

$$7y-4x=14$$

4x را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$7y=4x+14$$

هر دو طرف بر 7 تقسیم شوند.

$$y=\frac{1}{7}\left(4x+14\right)$$

\frac{1}{7} بار 4x+14.

$$y=\frac{4}{7}x+2$$

\frac{4x}{7}+2 را با y در معادله جایگزین کنید، 3y+x=2.

$$3\left(\frac{4}{7}x+2\right)+x=2$$

3 بار \frac{4x}{7}+2.

$$\frac{12}{7}x+6+x=2$$

\frac{12x}{7} را به x اضافه کنید.

$$\frac{19}{7}x+6=2$$

6 را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$\frac{19}{7}x=-4$$

هر دو طرف معادله را بر \frac{19}{7} تقسیم کنید که مشابه ضرب هر دو طرف در اعداد متقابل کسر است.

$$x=-\frac{28}{19}$$

-\frac{28}{19} را با x در y=\frac{4}{7}x+2 جایگزین کنید. از آنجایی که معادله حاصل شامل تنها یک متغیر است، می‌توانید به طور مستقیم برای y حل کنید.

$$y=\frac{4}{7}\left(-\frac{28}{19}\right)+2$$

با ضرب صورت کسر در صورت کسر و مخرج کسر در مخرج کسر، \frac{4}{7} را در -\frac{28}{19} ضرب کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین جمله ممکن ساده کنید.

$$y=-\frac{16}{19}+2$$

2 را به -\frac{16}{19} اضافه کنید.

$$y=\frac{22}{19}$$

سیستم در حال حاضر حل شده است.

$$y=\frac{22}{19},x=-\frac{28}{19}$$

مراحل استفاده از ماتریس

اولین معادله را در نظر بگیرید. 4x را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$3y-9-4x=-4y+5$$

4y را به هر دو طرف اضافه کنید.

$$3y-9-4x+4y=5$$

3y و 4y را برای به دست آوردن 7y ترکیب کنید.

$$7y-9-4x=5$$

9 را به هر دو طرف اضافه کنید.

$$7y-4x=5+9$$

5 و 9 را برای دریافت 14 اضافه کنید.

$$7y-4x=14$$

دومین معادله را در نظر بگیرید. برای پیدا کردن متضاد x+2، متضاد هر اصطلاح پیدا شود.

$$5y-3=-x-2+1+2y$$

-2 و 1 را برای دریافت -1 اضافه کنید.

$$5y-3=-x-1+2y$$

x را به هر دو طرف اضافه کنید.

$$5y-3+x=-1+2y$$

2y را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$5y-3+x-2y=-1$$

5y و -2y را برای به دست آوردن 3y ترکیب کنید.

$$3y-3+x=-1$$

3 را به هر دو طرف اضافه کنید.

$$3y+x=-1+3$$

-1 و 3 را برای دریافت 2 اضافه کنید.

$$3y+x=2$$

معادلات را در قالب استاندارد قرار داده و سپس از ماتریس‌ها برای حل سیستم معادلات استفاده کنید.

$$7y-4x=14,3y+x=2$$

معادله‌ها را به شکل ماتریس بنویسید.

$$\left(\begin{matrix}7&-4\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\2\end{matrix}\right)$$

معادله را از سمت چپ در ماتریس وارون \left(\begin{matrix}7&-4\\3&1\end{matrix}\right) ضرب کنید.

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&-4\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&-4\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-4\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\2\end{matrix}\right)$$

حاصل ماتریس و وارون آن ماتریس همانی است.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-4\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\2\end{matrix}\right)$$

ماتریس‌های سمت چپ علامت مساوی را ضرب کنید.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-4\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\2\end{matrix}\right)$$

برای ماتریس 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، ماتریس معکوس \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) است، بنابراین معادله ماتریس می‌تواند به‌صورت مسئله ضرب ماتریس بازنویسی شود.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7-\left(-4\times 3\right)}&-\frac{-4}{7-\left(-4\times 3\right)}\\-\frac{3}{7-\left(-4\times 3\right)}&\frac{7}{7-\left(-4\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\2\end{matrix}\right)$$

محاسبات را انجام دهید.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{19}&\frac{4}{19}\\-\frac{3}{19}&\frac{7}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\2\end{matrix}\right)$$

ماتریس‌ها را ضرب کنید.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{19}\times 14+\frac{4}{19}\times 2\\-\frac{3}{19}\times 14+\frac{7}{19}\times 2\end{matrix}\right)$$

محاسبات را انجام دهید.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{22}{19}\\-\frac{28}{19}\end{matrix}\right)$$

عناصر ماتریس y و x را استخراج کنید.

$$y=\frac{22}{19},x=-\frac{28}{19}$$

مراحل استفاده از حذف

اولین معادله را در نظر بگیرید. 4x را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$3y-9-4x=-4y+5$$

4y را به هر دو طرف اضافه کنید.

$$3y-9-4x+4y=5$$

3y و 4y را برای به دست آوردن 7y ترکیب کنید.

$$7y-9-4x=5$$

9 را به هر دو طرف اضافه کنید.

$$7y-4x=5+9$$

5 و 9 را برای دریافت 14 اضافه کنید.

$$7y-4x=14$$

دومین معادله را در نظر بگیرید. برای پیدا کردن متضاد x+2، متضاد هر اصطلاح پیدا شود.

$$5y-3=-x-2+1+2y$$

-2 و 1 را برای دریافت -1 اضافه کنید.

$$5y-3=-x-1+2y$$

x را به هر دو طرف اضافه کنید.

$$5y-3+x=-1+2y$$

2y را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$5y-3+x-2y=-1$$

5y و -2y را برای به دست آوردن 3y ترکیب کنید.

$$3y-3+x=-1$$

3 را به هر دو طرف اضافه کنید.

$$3y+x=-1+3$$

-1 و 3 را برای دریافت 2 اضافه کنید.

$$3y+x=2$$

برای حل با استفاده از حذف، ضرایب یکی از متغیرها باید در هر دو معادله مشابه باشد، بنابراین متغیر در زمانی که یک معادله از معادله دیگر تفریق می‌شود، برابر خواهد شد.

$$7y-4x=14,3y+x=2$$

برای مساوی کردن 7y و 3y، همه عبارت‌های موجود در هر طرف معادله اول را در 3 و همه عبارت‌های موجود در هر طرف معادله دوم را در 7 ضرب کنید.

$$3\times 7y+3\left(-4\right)x=3\times 14,7\times 3y+7x=7\times 2$$

ساده کنید.

$$21y-12x=42,21y+7x=14$$

21y+7x=14 را از 21y-12x=42 با کم کردن جمله‌های دارای متغیر مساوی در هر طرف علامت مساوی تفریق کنید.

$$21y-21y-12x-7x=42-14$$

21y را به -21y اضافه کنید. عبارت‌های 21y و -21y با هم ساده می‌شوند و معادله تنها با یک متغیر باقی می‌ماند که می‌توان آن را حل کرد.

$$-12x-7x=42-14$$

-12x را به -7x اضافه کنید.

$$-19x=42-14$$

42 را به -14 اضافه کنید.

$$-19x=28$$

هر دو طرف بر -19 تقسیم شوند.

$$x=-\frac{28}{19}$$

-\frac{28}{19} را با x در 3y+x=2 جایگزین کنید. از آنجایی که معادله حاصل شامل تنها یک متغیر است، می‌توانید به طور مستقیم برای y حل کنید.

$$3y-\frac{28}{19}=2$$

\frac{28}{19} را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$3y=\frac{66}{19}$$

هر دو طرف بر 3 تقسیم شوند.

$$y=\frac{22}{19}$$

سیستم در حال حاضر حل شده است.

$$y=\frac{22}{19},x=-\frac{28}{19}$$