حل ∫ (4x-7)^2 wrt x

$$\int ( 4 x - 7 ) ^ { 2 } d x$$

ارزیابی

$$\frac{\left(4x-7\right)^{3}}{12}+С$$

مراحل راه‌حل

از قضیه دو جمله‌ای \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} برای گسترش \left(4x-7\right)^{2} استفاده کنید.

$$\int 16x^{2}-56x+49\mathrm{d}x$$

حاصل جمع را جمله به جمله انتگرال بگیرید.

$$\int 16x^{2}\mathrm{d}x+\int -56x\mathrm{d}x+\int 49\mathrm{d}x$$

در هر جمله، عدد ثابت را فاکتور بگیرید.

$$16\int x^{2}\mathrm{d}x-56\int x\mathrm{d}x+\int 49\mathrm{d}x$$

چون \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} برای k\neq -1 است، \int x^{2}\mathrm{d}x را با \frac{x^{3}}{3}جایگزین کنید. 16 بار \frac{x^{3}}{3}.

$$\frac{16x^{3}}{3}-56\int x\mathrm{d}x+\int 49\mathrm{d}x$$

چون \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} برای k\neq -1 است، \int x\mathrm{d}x را با \frac{x^{2}}{2}جایگزین کنید. -56 بار \frac{x^{2}}{2}.

$$\frac{16x^{3}}{3}-28x^{2}+\int 49\mathrm{d}x$$

با استفاده از جدول انتگرال‌های مشترک قانون \int a\mathrm{d}x=ax، انتگرال 49 را بگیرید.

$$\frac{16x^{3}}{3}-28x^{2}+49x$$

اگر F\left(x\right) ضدمشتق f\left(x\right) است، پس مجموعه همه ضدمشتق‌های f\left(x\right) توسط F\left(x\right)+C به‌دست می‌آید. بنابراین ثابت انتگرال‌گیری C\in \mathrm{R} را به نتیجه اضافه کنید.

$$\frac{16x^{3}}{3}-28x^{2}+49x+С$$

مشتق گرفتن w.r.t. x

$$\left(4x-7\right)^{2}$$