حل 2/x+15/x+6=1

$$\frac { 2 } { x } + \frac { 15 } { x + 6 } = 1$$

برای x حل کنید

$$x=-1$$

$$x=12$$

مراحل استفاده از فاکتورگیری با گروه‌بندی

متغیر x نباید با هیچکدام از مقادیر -6,0 برابر باشد زیرا تقسیم بر صفر تعریف نشده است. هر دو سوی معادله در x\left(x+6\right)، کوچکترین مضرب مشترک x,x+6، ضرب شود.

$$\left(x+6\right)\times 2+x\times 15=x\left(x+6\right)$$

از اموال توزیعی برای ضرب x+6 در 2 استفاده کنید.

$$2x+12+x\times 15=x\left(x+6\right)$$

2x و x\times 15 را برای به دست آوردن 17x ترکیب کنید.

$$17x+12=x\left(x+6\right)$$

از اموال توزیعی برای ضرب x در x+6 استفاده کنید.

$$17x+12=x^{2}+6x$$

x^{2} را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$17x+12-x^{2}=6x$$

6x را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$17x+12-x^{2}-6x=0$$

17x و -6x را برای به دست آوردن 11x ترکیب کنید.

$$11x+12-x^{2}=0$$

چندجمله‌ای را برای قرار دادن در قالب استاندارد، دوباره مرتب کنید. جملات را از بیشترین به کمترین قرار دهید.

$$-x^{2}+11x+12=0$$

برای حل معادله، با گروه‌بندی سمت چپ از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، سمت چپ باید به‌صورت -x^{2}+ax+bx+12 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=11 ab=-12=-12$$

از آنجا که ab منفی است، a و b علامت مخالف هم دارند. از آنجا که a+b مثبت است، عدد مثبت قدر مطلق بزرگتری نسبت به عدد منفی دارد. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان -12 است فهرست کنید.

$$-1,12 -2,6 -3,4$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$-1+12=11 -2+6=4 -3+4=1$$

جواب زوجی است که مجموع آن 11 است.

$$a=12 b=-1$$

-x^{2}+11x+12 را به‌عنوان \left(-x^{2}+12x\right)+\left(-x+12\right) بازنویسی کنید.

$$\left(-x^{2}+12x\right)+\left(-x+12\right)$$

در گروه اول از -x و در گروه دوم از -1 فاکتور بگیرید.

$$-x\left(x-12\right)-\left(x-12\right)$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک x-12 فاکتور بگیرید.

$$\left(x-12\right)\left(-x-1\right)$$

برای پیدا کردن جواب‌های معادله، x-12=0 و -x-1=0 را حل کنید.

$$x=12 x=-1$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

متغیر x نباید با هیچکدام از مقادیر -6,0 برابر باشد زیرا تقسیم بر صفر تعریف نشده است. هر دو سوی معادله در x\left(x+6\right)، کوچکترین مضرب مشترک x,x+6، ضرب شود.

$$\left(x+6\right)\times 2+x\times 15=x\left(x+6\right)$$

از اموال توزیعی برای ضرب x+6 در 2 استفاده کنید.

$$2x+12+x\times 15=x\left(x+6\right)$$

2x و x\times 15 را برای به دست آوردن 17x ترکیب کنید.

$$17x+12=x\left(x+6\right)$$

از اموال توزیعی برای ضرب x در x+6 استفاده کنید.

$$17x+12=x^{2}+6x$$

x^{2} را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$17x+12-x^{2}=6x$$

6x را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$17x+12-x^{2}-6x=0$$

17x و -6x را برای به دست آوردن 11x ترکیب کنید.

$$11x+12-x^{2}=0$$

همه معادله‌های به صورت ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. فرمول درجه دوم دو راه‌حل ارائه می‌کند، یکی زمانی که ± یک به‌علاوه و دیگری زمامی که یک تفریق است.

$$-x^{2}+11x+12=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. -1 را با a، 11 را با b و 12 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$x=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\left(-1\right)\times 12}}{2\left(-1\right)}$$

11 را مجذور کنید.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-4\left(-1\right)\times 12}}{2\left(-1\right)}$$

-4 بار -1.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121+4\times 12}}{2\left(-1\right)}$$

4 بار 12.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121+48}}{2\left(-1\right)}$$

121 را به 48 اضافه کنید.

$$x=\frac{-11±\sqrt{169}}{2\left(-1\right)}$$

ریشه دوم 169 را به دست آورید.

$$x=\frac{-11±13}{2\left(-1\right)}$$

2 بار -1.

$$x=\frac{-11±13}{-2}$$

اکنون معادله x=\frac{-11±13}{-2} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. -11 را به 13 اضافه کنید.

$$x=\frac{2}{-2}$$

2 را بر -2 تقسیم کنید.

$$x=-1$$

اکنون معادله x=\frac{-11±13}{-2} وقتی که ± منفی است حل کنید. 13 را از -11 تفریق کنید.

$$x=-\frac{24}{-2}$$

-24 را بر -2 تقسیم کنید.

$$x=12$$

این معادله اکنون حل شده است.

$$x=-1 x=12$$

مراحل برای تکمیل مربع

متغیر x نباید با هیچکدام از مقادیر -6,0 برابر باشد زیرا تقسیم بر صفر تعریف نشده است. هر دو سوی معادله در x\left(x+6\right)، کوچکترین مضرب مشترک x,x+6، ضرب شود.

$$\left(x+6\right)\times 2+x\times 15=x\left(x+6\right)$$

از اموال توزیعی برای ضرب x+6 در 2 استفاده کنید.

$$2x+12+x\times 15=x\left(x+6\right)$$

2x و x\times 15 را برای به دست آوردن 17x ترکیب کنید.

$$17x+12=x\left(x+6\right)$$

از اموال توزیعی برای ضرب x در x+6 استفاده کنید.

$$17x+12=x^{2}+6x$$

x^{2} را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$17x+12-x^{2}=6x$$

6x را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$17x+12-x^{2}-6x=0$$

17x و -6x را برای به دست آوردن 11x ترکیب کنید.

$$11x+12-x^{2}=0$$

12 را از هر دو طرف تفریق کنید. هر چیزی که از صفر کم می‌شود، منفی خودش می‌شود.

$$11x-x^{2}=-12$$

معادلات درجه دوم مانند این مورد را می‌توان با تکمیل مربع حل کرد. به منظور تکمیل مربع، معادله باید ابتدا در قالب x^{2}+bx=c باشد.

$$-x^{2}+11x=-12$$

هر دو طرف بر -1 تقسیم شوند.

$$\frac{-x^{2}+11x}{-1}=-\frac{12}{-1}$$

تقسیم بر -1، ضرب در -1 را لغو می‌کند.

$$x^{2}+\frac{11}{-1}x=-\frac{12}{-1}$$

11 را بر -1 تقسیم کنید.

$$x^{2}-11x=-\frac{12}{-1}$$

-12 را بر -1 تقسیم کنید.

$$x^{2}-11x=12$$

-11، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل -\frac{11}{2} شود. سپس مجذور -\frac{11}{2} را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$x^{2}-11x+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}=12+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}$$

-\frac{11}{2} را با مجذور کردن صورت کسر و مخرج کسر مجذور کنید.

$$x^{2}-11x+\frac{121}{4}=12+\frac{121}{4}$$

12 را به \frac{121}{4} اضافه کنید.

$$x^{2}-11x+\frac{121}{4}=\frac{169}{4}$$

عامل x^{2}-11x+\frac{121}{4}. در مجموع، هرگاه x^{2}+bx+c یک مربع کامل باشد می‌تواند همیشه به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(x-\frac{11}{2}\right)^{2}=\frac{169}{4}$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{4}}$$

ساده کنید.

$$x-\frac{11}{2}=\frac{13}{2} x-\frac{11}{2}=-\frac{13}{2}$$

\frac{11}{2} را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$x=12 x=-1$$