حل 16k^2+24k^4/(2k^2+1)^2=20/9

$$\frac { 16 k ^ { 2 } + 24 k ^ { 4 } } { ( 2 k ^ { 2 } + 1 ) ^ { 2 } } = \frac { 20 } { 9 }$$

برای k حل کنید

$$k=-\frac{\sqrt{102\sqrt{26}-272}}{34}\approx -0.463270298$$

$$k=\frac{\sqrt{102\sqrt{26}-272}}{34}\approx 0.463270298$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

هر دو سوی معادله در 9\left(2k^{2}+1\right)^{2}، کوچکترین مضرب مشترک \left(2k^{2}+1\right)^{2},9، ضرب شود.

$$9\left(16k^{2}+24k^{4}\right)=20\left(2k^{2}+1\right)^{2}$$

از اموال توزیعی برای ضرب 9 در 16k^{2}+24k^{4} استفاده کنید.

$$144k^{2}+216k^{4}=20\left(2k^{2}+1\right)^{2}$$

از قضیه دو جمله‌ای \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} برای گسترش \left(2k^{2}+1\right)^{2} استفاده کنید.

$$144k^{2}+216k^{4}=20\left(4\left(k^{2}\right)^{2}+4k^{2}+1\right)$$

برای رساندن توان به یک توان دیگر، توان‌ها را ضرب کنید. 2 و 2 را برای رسیدن به 4 ضرب کنید.

$$144k^{2}+216k^{4}=20\left(4k^{4}+4k^{2}+1\right)$$

از اموال توزیعی برای ضرب 20 در 4k^{4}+4k^{2}+1 استفاده کنید.

$$144k^{2}+216k^{4}=80k^{4}+80k^{2}+20$$

80k^{4} را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$144k^{2}+216k^{4}-80k^{4}=80k^{2}+20$$

216k^{4} و -80k^{4} را برای به دست آوردن 136k^{4} ترکیب کنید.

$$144k^{2}+136k^{4}=80k^{2}+20$$

80k^{2} را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$144k^{2}+136k^{4}-80k^{2}=20$$

144k^{2} و -80k^{2} را برای به دست آوردن 64k^{2} ترکیب کنید.

$$64k^{2}+136k^{4}=20$$

20 را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$64k^{2}+136k^{4}-20=0$$

t به جای k^{2} جایگزین شود.

$$136t^{2}+64t-20=0$$

همه معادلات به شکل ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. در فرمول درجه دوم 136 را با a، 64 را با b، و -20 را با c جایگزین کنید.

$$t=\frac{-64±\sqrt{64^{2}-4\times 136\left(-20\right)}}{2\times 136}$$

محاسبات را انجام دهید.

$$t=\frac{-64±24\sqrt{26}}{272}$$

معادله t=\frac{-64±24\sqrt{26}}{272} را یک بار وقتی ± به‌علاوه است و یک بار وقتی ± منها است حل کنید.

$$t=\frac{3\sqrt{26}}{34}-\frac{4}{17} t=-\frac{3\sqrt{26}}{34}-\frac{4}{17}$$

از آنجا که k=t^{2}، راه‌حل‌ها با ارزیابی k=±\sqrt{t} برای هر t مثبت به دست می‌آید.

$$k=\frac{\sqrt{\frac{6\sqrt{26}-16}{17}}}{2} k=-\frac{\sqrt{\frac{6\sqrt{26}-16}{17}}}{2}$$