Resolver y^2-17y+30=0

$$y ^ { 2 } - 17 y + 30 = 0$$

Ebatzi: y

$$y=2$$

$$y=15$$

Faktorizazioa darabilten urratsak

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu y^{2}-17y+30 formula hau erabilita: y^{2}+\left(a+b\right)y+ab=\left(y+a\right)\left(y+b\right). a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=-17 ab=30$$

ab positiboa denez, a eta b balioek zeinu bera dute. a+b negatiboa denez, a eta b negatiboak dira. Zerrendatu 30 biderkadura duten osokoen pare guztiak.

$$-1,-30 -2,-15 -3,-10 -5,-6$$

Kalkulatu pare bakoitzaren batura.

$$-1-30=-31 -2-15=-17 -3-10=-13 -5-6=-11$$

-17 batura duen parea da soluzioa.

$$a=-15 b=-2$$

Berridatzi faktorizatutako adierazpena (\left(y+a\right)\left(y+b\right)) lortutako balioak erabilita.

$$\left(y-15\right)\left(y-2\right)$$

Ekuazioaren soluzioak aurkitzeko, ebatzi y-15=0 eta y-2=0.

$$y=15 y=2$$

Faktorizazioa darabilten urratsak, taldekatzearen arabera

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu ezkerraldea taldekatzearen bidez. Lehenik, y^{2}+ay+by+30 gisa idatzi behar da ezkerraldea. a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=-17 ab=1\times 30=30$$

ab positiboa denez, a eta b balioek zeinu bera dute. a+b negatiboa denez, a eta b negatiboak dira. Zerrendatu 30 biderkadura duten osokoen pare guztiak.

$$-1,-30 -2,-15 -3,-10 -5,-6$$

Kalkulatu pare bakoitzaren batura.

$$-1-30=-31 -2-15=-17 -3-10=-13 -5-6=-11$$

-17 batura duen parea da soluzioa.

$$a=-15 b=-2$$

Berridatzi y^{2}-17y+30 honela: \left(y^{2}-15y\right)+\left(-2y+30\right).

$$\left(y^{2}-15y\right)+\left(-2y+30\right)$$

Deskonposatu y lehen taldean, eta -2 bigarren taldean.

$$y\left(y-15\right)-2\left(y-15\right)$$

Deskonposatu y-15 gai arrunta banaketa-propietatea erabiliz.

$$\left(y-15\right)\left(y-2\right)$$

Ekuazioaren soluzioak aurkitzeko, ebatzi y-15=0 eta y-2=0.

$$y=15 y=2$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$y^{2}-17y+30=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 1 balioa a balioarekin, -17 balioa b balioarekin, eta 30 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$y=\frac{-\left(-17\right)±\sqrt{\left(-17\right)^{2}-4\times 30}}{2}$$

Egin -17 ber bi.

$$y=\frac{-\left(-17\right)±\sqrt{289-4\times 30}}{2}$$

Egin -4 bider 30.

$$y=\frac{-\left(-17\right)±\sqrt{289-120}}{2}$$

Gehitu 289 eta -120.

$$y=\frac{-\left(-17\right)±\sqrt{169}}{2}$$

Atera 169 balioaren erro karratua.

$$y=\frac{-\left(-17\right)±13}{2}$$

-17 zenbakiaren aurkakoa 17 da.

$$y=\frac{17±13}{2}$$

Orain, ebatzi y=\frac{17±13}{2} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 17 eta 13.

$$y=\frac{30}{2}$$

Zatitu 30 balioa 2 balioarekin.

$$y=15$$

Orain, ebatzi y=\frac{17±13}{2} ekuazioa ± minus denean. Egin 13 ken 17.

$$y=\frac{4}{2}$$

Zatitu 4 balioa 2 balioarekin.

$$y=2$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$y=15 y=2$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$y^{2}-17y+30=0$$

Egin ken 30 ekuazioaren bi aldeetan.

$$y^{2}-17y+30-30=-30$$

30 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$y^{2}-17y=-30$$

Zatitu -17 (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{17}{2} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{17}{2} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$y^{2}-17y+\left(-\frac{17}{2}\right)^{2}=-30+\left(-\frac{17}{2}\right)^{2}$$

Egin -\frac{17}{2} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$y^{2}-17y+\frac{289}{4}=-30+\frac{289}{4}$$

Gehitu -30 eta \frac{289}{4}.

$$y^{2}-17y+\frac{289}{4}=\frac{169}{4}$$

Atera y^{2}-17y+\frac{289}{4} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(y-\frac{17}{2}\right)^{2}=\frac{169}{4}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(y-\frac{17}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{4}}$$

Sinplifikatu.

$$y-\frac{17}{2}=\frac{13}{2} y-\frac{17}{2}=-\frac{13}{2}$$

Gehitu \frac{17}{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$y=15 y=2$$