Resolver x-x^2=3

$$x- { x }^{ 2 } =3$$

Ebatzi: x (complex solution)

$$x=\frac{-\sqrt{11}i+1}{2}\approx 0.5-1.658312395i$$

$$x=\frac{1+\sqrt{11}i}{2}\approx 0.5+1.658312395i$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$-x^{2}+x=3$$

Egin ken 3 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-x^{2}+x-3=3-3$$

3 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$-x^{2}+x-3=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu -1 balioa a balioarekin, 1 balioa b balioarekin, eta -3 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\left(-1\right)\left(-3\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Egin 1 ber bi.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\left(-1\right)\left(-3\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Egin -4 bider -1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+4\left(-3\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Egin 4 bider -3.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-12}}{2\left(-1\right)}$$

Gehitu 1 eta -12.

$$x=\frac{-1±\sqrt{-11}}{2\left(-1\right)}$$

Atera -11 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-1±\sqrt{11}i}{2\left(-1\right)}$$

Egin 2 bider -1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{11}i}{-2}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-1±\sqrt{11}i}{-2} ekuazioa ± plus denean. Gehitu -1 eta i\sqrt{11}.

$$x=\frac{-1+\sqrt{11}i}{-2}$$

Zatitu -1+i\sqrt{11} balioa -2 balioarekin.

$$x=\frac{-\sqrt{11}i+1}{2}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-1±\sqrt{11}i}{-2} ekuazioa ± minus denean. Egin i\sqrt{11} ken -1.

$$x=\frac{-\sqrt{11}i-1}{-2}$$

Zatitu -1-i\sqrt{11} balioa -2 balioarekin.

$$x=\frac{1+\sqrt{11}i}{2}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=\frac{-\sqrt{11}i+1}{2} x=\frac{1+\sqrt{11}i}{2}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$-x^{2}+x=3$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -1 balioarekin.

$$\frac{-x^{2}+x}{-1}=\frac{3}{-1}$$

-1 balioarekin zatituz gero, -1 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\frac{1}{-1}x=\frac{3}{-1}$$

Zatitu 1 balioa -1 balioarekin.

$$x^{2}-x=\frac{3}{-1}$$

Zatitu 3 balioa -1 balioarekin.

$$x^{2}-x=-3$$

Zatitu -1 (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{1}{2} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{1}{2} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=-3+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Egin -\frac{1}{2} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=-3+\frac{1}{4}$$

Gehitu -3 eta \frac{1}{4}.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=-\frac{11}{4}$$

Atera x^{2}-x+\frac{1}{4} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{11}{4}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{11}{4}}$$

Sinplifikatu.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{11}i}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{11}i}{2}$$

Gehitu \frac{1}{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{1+\sqrt{11}i}{2} x=\frac{-\sqrt{11}i+1}{2}$$