Resolver x^2+7x+47=0

$$x ^ { 2 } + 7 x + 47 = 0$$

Ebatzi: x (complex solution)

$$x=\frac{-7+\sqrt{139}i}{2}\approx -3.5+5.894913061i$$

$$x=\frac{-\sqrt{139}i-7}{2}\approx -3.5-5.894913061i$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$x^{2}+7x+47=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 1 balioa a balioarekin, 7 balioa b balioarekin, eta 47 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 47}}{2}$$

Egin 7 ber bi.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 47}}{2}$$

Egin -4 bider 47.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-188}}{2}$$

Gehitu 49 eta -188.

$$x=\frac{-7±\sqrt{-139}}{2}$$

Atera -139 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-7±\sqrt{139}i}{2}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-7±\sqrt{139}i}{2} ekuazioa ± plus denean. Gehitu -7 eta i\sqrt{139}.

$$x=\frac{-7+\sqrt{139}i}{2}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-7±\sqrt{139}i}{2} ekuazioa ± minus denean. Egin i\sqrt{139} ken -7.

$$x=\frac{-\sqrt{139}i-7}{2}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=\frac{-7+\sqrt{139}i}{2} x=\frac{-\sqrt{139}i-7}{2}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$x^{2}+7x+47=0$$

Egin ken 47 ekuazioaren bi aldeetan.

$$x^{2}+7x+47-47=-47$$

47 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$x^{2}+7x=-47$$

Zatitu 7 (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta \frac{7}{2} lortuko duzu. Ondoren, gehitu \frac{7}{2} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}+7x+\left(\frac{7}{2}\right)^{2}=-47+\left(\frac{7}{2}\right)^{2}$$

Egin \frac{7}{2} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}+7x+\frac{49}{4}=-47+\frac{49}{4}$$

Gehitu -47 eta \frac{49}{4}.

$$x^{2}+7x+\frac{49}{4}=-\frac{139}{4}$$

Atera x^{2}+7x+\frac{49}{4} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x+\frac{7}{2}\right)^{2}=-\frac{139}{4}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{139}{4}}$$

Sinplifikatu.

$$x+\frac{7}{2}=\frac{\sqrt{139}i}{2} x+\frac{7}{2}=-\frac{\sqrt{139}i}{2}$$

Egin ken \frac{7}{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{-7+\sqrt{139}i}{2} x=\frac{-\sqrt{139}i-7}{2}$$