Resolver x^2+31x-360=0

$$x ^ { 2 } + 31 x - 360 = 0$$

Ebatzi: x

$$x=-40$$

$$x=9$$

Faktorizazioa darabilten urratsak

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu x^{2}+31x-360 formula hau erabilita: x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=31 ab=-360$$

ab negatiboa denez, a eta b balioek kontrako zeinuak dituzte. a+b positiboa denez, zenbaki positiboak negatiboak baino balio absolutu handiagoa du. Zerrendatu -360 biderkadura duten osokoen pare guztiak.

$$-1,360 -2,180 -3,120 -4,90 -5,72 -6,60 -8,45 -9,40 -10,36 -12,30 -15,24 -18,20$$

Kalkulatu pare bakoitzaren batura.

$$-1+360=359 -2+180=178 -3+120=117 -4+90=86 -5+72=67 -6+60=54 -8+45=37 -9+40=31 -10+36=26 -12+30=18 -15+24=9 -18+20=2$$

31 batura duen parea da soluzioa.

$$a=-9 b=40$$

Berridatzi faktorizatutako adierazpena (\left(x+a\right)\left(x+b\right)) lortutako balioak erabilita.

$$\left(x-9\right)\left(x+40\right)$$

Ekuazioaren soluzioak aurkitzeko, ebatzi x-9=0 eta x+40=0.

$$x=9 x=-40$$

Faktorizazioa darabilten urratsak, taldekatzearen arabera

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu ezkerraldea taldekatzearen bidez. Lehenik, x^{2}+ax+bx-360 gisa idatzi behar da ezkerraldea. a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=31 ab=1\left(-360\right)=-360$$

ab negatiboa denez, a eta b balioek kontrako zeinuak dituzte. a+b positiboa denez, zenbaki positiboak negatiboak baino balio absolutu handiagoa du. Zerrendatu -360 biderkadura duten osokoen pare guztiak.

$$-1,360 -2,180 -3,120 -4,90 -5,72 -6,60 -8,45 -9,40 -10,36 -12,30 -15,24 -18,20$$

Kalkulatu pare bakoitzaren batura.

$$-1+360=359 -2+180=178 -3+120=117 -4+90=86 -5+72=67 -6+60=54 -8+45=37 -9+40=31 -10+36=26 -12+30=18 -15+24=9 -18+20=2$$

31 batura duen parea da soluzioa.

$$a=-9 b=40$$

Berridatzi x^{2}+31x-360 honela: \left(x^{2}-9x\right)+\left(40x-360\right).

$$\left(x^{2}-9x\right)+\left(40x-360\right)$$

Deskonposatu x lehen taldean, eta 40 bigarren taldean.

$$x\left(x-9\right)+40\left(x-9\right)$$

Deskonposatu x-9 gai arrunta banaketa-propietatea erabiliz.

$$\left(x-9\right)\left(x+40\right)$$

Ekuazioaren soluzioak aurkitzeko, ebatzi x-9=0 eta x+40=0.

$$x=9 x=-40$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$x^{2}+31x-360=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 1 balioa a balioarekin, 31 balioa b balioarekin, eta -360 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-31±\sqrt{31^{2}-4\left(-360\right)}}{2}$$

Egin 31 ber bi.

$$x=\frac{-31±\sqrt{961-4\left(-360\right)}}{2}$$

Egin -4 bider -360.

$$x=\frac{-31±\sqrt{961+1440}}{2}$$

Gehitu 961 eta 1440.

$$x=\frac{-31±\sqrt{2401}}{2}$$

Atera 2401 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-31±49}{2}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-31±49}{2} ekuazioa ± plus denean. Gehitu -31 eta 49.

$$x=\frac{18}{2}$$

Zatitu 18 balioa 2 balioarekin.

$$x=9$$

Orain, ebatzi x=\frac{-31±49}{2} ekuazioa ± minus denean. Egin 49 ken -31.

$$x=-\frac{80}{2}$$

Zatitu -80 balioa 2 balioarekin.

$$x=-40$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=9 x=-40$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$x^{2}+31x-360=0$$

Gehitu 360 ekuazioaren bi aldeetan.

$$x^{2}+31x-360-\left(-360\right)=-\left(-360\right)$$

-360 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$x^{2}+31x=-\left(-360\right)$$

Egin -360 ken 0.

$$x^{2}+31x=360$$

Zatitu 31 (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta \frac{31}{2} lortuko duzu. Ondoren, gehitu \frac{31}{2} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}+31x+\left(\frac{31}{2}\right)^{2}=360+\left(\frac{31}{2}\right)^{2}$$

Egin \frac{31}{2} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}+31x+\frac{961}{4}=360+\frac{961}{4}$$

Gehitu 360 eta \frac{961}{4}.

$$x^{2}+31x+\frac{961}{4}=\frac{2401}{4}$$

Atera x^{2}+31x+\frac{961}{4} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x+\frac{31}{2}\right)^{2}=\frac{2401}{4}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x+\frac{31}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2401}{4}}$$

Sinplifikatu.

$$x+\frac{31}{2}=\frac{49}{2} x+\frac{31}{2}=-\frac{49}{2}$$

Egin ken \frac{31}{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=9 x=-40$$