Resolver x^2+2x+3=0

$$x ^ { 2 } + 2 x + 3 = 0$$

Ebatzi: x (complex solution)

$$x=-1+\sqrt{2}i\approx -1+1.414213562i$$

$$x=-\sqrt{2}i-1\approx -1-1.414213562i$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$x^{2}+2x+3=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 1 balioa a balioarekin, 2 balioa b balioarekin, eta 3 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 3}}{2}$$

Egin 2 ber bi.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\times 3}}{2}$$

Egin -4 bider 3.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-12}}{2}$$

Gehitu 4 eta -12.

$$x=\frac{-2±\sqrt{-8}}{2}$$

Atera -8 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{2}i}{2}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-2±2\sqrt{2}i}{2} ekuazioa ± plus denean. Gehitu -2 eta 2i\sqrt{2}.

$$x=\frac{-2+2\sqrt{2}i}{2}$$

Zatitu -2+2i\sqrt{2} balioa 2 balioarekin.

$$x=-1+\sqrt{2}i$$

Orain, ebatzi x=\frac{-2±2\sqrt{2}i}{2} ekuazioa ± minus denean. Egin 2i\sqrt{2} ken -2.

$$x=\frac{-2\sqrt{2}i-2}{2}$$

Zatitu -2-2i\sqrt{2} balioa 2 balioarekin.

$$x=-\sqrt{2}i-1$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=-1+\sqrt{2}i x=-\sqrt{2}i-1$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$x^{2}+2x+3=0$$

Egin ken 3 ekuazioaren bi aldeetan.

$$x^{2}+2x+3-3=-3$$

3 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$x^{2}+2x=-3$$

Zatitu 2 (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta 1 lortuko duzu. Ondoren, gehitu 1 balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}+2x+1^{2}=-3+1^{2}$$

Egin 1 ber bi.

$$x^{2}+2x+1=-3+1$$

Gehitu -3 eta 1.

$$x^{2}+2x+1=-2$$

Atera x^{2}+2x+1 balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x+1\right)^{2}=-2$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x+1\right)^{2}}=\sqrt{-2}$$

Sinplifikatu.

$$x+1=\sqrt{2}i x+1=-\sqrt{2}i$$

Egin ken 1 ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=-1+\sqrt{2}i x=-\sqrt{2}i-1$$