Resolver n^2-n=240

$$n ^ { 2 } - n = 240$$

Ebatzi: n

$$n=-15$$

$$n=16$$

Faktorizazioa darabilten urratsak

Kendu 240 bi aldeetatik.

$$n^{2}-n-240=0$$

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu n^{2}-n-240 formula hau erabilita: n^{2}+\left(a+b\right)n+ab=\left(n+a\right)\left(n+b\right). a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=-1 ab=-240$$

ab negatiboa denez, a eta b balioek kontrako zeinuak dituzte. a+b negatiboa denez, zenbaki negatiboak positiboak baino balio absolutu handiagoa du. Zerrendatu -240 biderkadura duten osokoen pare guztiak.

$$1,-240 2,-120 3,-80 4,-60 5,-48 6,-40 8,-30 10,-24 12,-20 15,-16$$

Kalkulatu pare bakoitzaren batura.

$$1-240=-239 2-120=-118 3-80=-77 4-60=-56 5-48=-43 6-40=-34 8-30=-22 10-24=-14 12-20=-8 15-16=-1$$

-1 batura duen parea da soluzioa.

$$a=-16 b=15$$

Berridatzi faktorizatutako adierazpena (\left(n+a\right)\left(n+b\right)) lortutako balioak erabilita.

$$\left(n-16\right)\left(n+15\right)$$

Ekuazioaren soluzioak aurkitzeko, ebatzi n-16=0 eta n+15=0.

$$n=16 n=-15$$

Faktorizazioa darabilten urratsak, taldekatzearen arabera

Kendu 240 bi aldeetatik.

$$n^{2}-n-240=0$$

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu ezkerraldea taldekatzearen bidez. Lehenik, n^{2}+an+bn-240 gisa idatzi behar da ezkerraldea. a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=-1 ab=1\left(-240\right)=-240$$

ab negatiboa denez, a eta b balioek kontrako zeinuak dituzte. a+b negatiboa denez, zenbaki negatiboak positiboak baino balio absolutu handiagoa du. Zerrendatu -240 biderkadura duten osokoen pare guztiak.

$$1,-240 2,-120 3,-80 4,-60 5,-48 6,-40 8,-30 10,-24 12,-20 15,-16$$

Kalkulatu pare bakoitzaren batura.

$$1-240=-239 2-120=-118 3-80=-77 4-60=-56 5-48=-43 6-40=-34 8-30=-22 10-24=-14 12-20=-8 15-16=-1$$

-1 batura duen parea da soluzioa.

$$a=-16 b=15$$

Berridatzi n^{2}-n-240 honela: \left(n^{2}-16n\right)+\left(15n-240\right).

$$\left(n^{2}-16n\right)+\left(15n-240\right)$$

Deskonposatu n lehen taldean, eta 15 bigarren taldean.

$$n\left(n-16\right)+15\left(n-16\right)$$

Deskonposatu n-16 gai arrunta banaketa-propietatea erabiliz.

$$\left(n-16\right)\left(n+15\right)$$

Ekuazioaren soluzioak aurkitzeko, ebatzi n-16=0 eta n+15=0.

$$n=16 n=-15$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$n^{2}-n=240$$

Egin ken 240 ekuazioaren bi aldeetan.

$$n^{2}-n-240=240-240$$

240 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$n^{2}-n-240=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 1 balioa a balioarekin, -1 balioa b balioarekin, eta -240 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$n=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\left(-240\right)}}{2}$$

Egin -4 bider -240.

$$n=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+960}}{2}$$

Gehitu 1 eta 960.

$$n=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{961}}{2}$$

Atera 961 balioaren erro karratua.

$$n=\frac{-\left(-1\right)±31}{2}$$

-1 zenbakiaren aurkakoa 1 da.

$$n=\frac{1±31}{2}$$

Orain, ebatzi n=\frac{1±31}{2} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 1 eta 31.

$$n=\frac{32}{2}$$

Zatitu 32 balioa 2 balioarekin.

$$n=16$$

Orain, ebatzi n=\frac{1±31}{2} ekuazioa ± minus denean. Egin 31 ken 1.

$$n=-\frac{30}{2}$$

Zatitu -30 balioa 2 balioarekin.

$$n=-15$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$n=16 n=-15$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$n^{2}-n=240$$

Zatitu -1 (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{1}{2} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{1}{2} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$n^{2}-n+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=240+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Egin -\frac{1}{2} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$n^{2}-n+\frac{1}{4}=240+\frac{1}{4}$$

Gehitu 240 eta \frac{1}{4}.

$$n^{2}-n+\frac{1}{4}=\frac{961}{4}$$

Atera n^{2}-n+\frac{1}{4} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(n-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{961}{4}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(n-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{961}{4}}$$

Sinplifikatu.

$$n-\frac{1}{2}=\frac{31}{2} n-\frac{1}{2}=-\frac{31}{2}$$

Gehitu \frac{1}{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$n=16 n=-15$$