Resolver 9x^2+7x+9=25

$$9 x ^ { 2 } + 7 x + 9 = 25$$

Ebatzi: x

$$x = -\frac{16}{9} = -1\frac{7}{9} \approx -1.777777778$$

$$x=1$$

Faktorizazioa darabilten urratsak, taldekatzearen arabera

Kendu 25 bi aldeetatik.

$$9x^{2}+7x+9-25=0$$

-16 lortzeko, 9 balioari kendu 25.

$$9x^{2}+7x-16=0$$

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu ezkerraldea taldekatzearen bidez. Lehenik, 9x^{2}+ax+bx-16 gisa idatzi behar da ezkerraldea. a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=7 ab=9\left(-16\right)=-144$$

ab negatiboa denez, a eta b balioek kontrako zeinuak dituzte. a+b positiboa denez, zenbaki positiboak negatiboak baino balio absolutu handiagoa du. Zerrendatu -144 biderkadura duten osokoen pare guztiak.

$$-1,144 -2,72 -3,48 -4,36 -6,24 -8,18 -9,16 -12,12$$

Kalkulatu pare bakoitzaren batura.

$$-1+144=143 -2+72=70 -3+48=45 -4+36=32 -6+24=18 -8+18=10 -9+16=7 -12+12=0$$

7 batura duen parea da soluzioa.

$$a=-9 b=16$$

Berridatzi 9x^{2}+7x-16 honela: \left(9x^{2}-9x\right)+\left(16x-16\right).

$$\left(9x^{2}-9x\right)+\left(16x-16\right)$$

Deskonposatu 9x lehen taldean, eta 16 bigarren taldean.

$$9x\left(x-1\right)+16\left(x-1\right)$$

Deskonposatu x-1 gai arrunta banaketa-propietatea erabiliz.

$$\left(x-1\right)\left(9x+16\right)$$

Ekuazioaren soluzioak aurkitzeko, ebatzi x-1=0 eta 9x+16=0.

$$x=1 x=-\frac{16}{9}$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$9x^{2}+7x+9=25$$

Egin ken 25 ekuazioaren bi aldeetan.

$$9x^{2}+7x+9-25=25-25$$

25 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$9x^{2}+7x+9-25=0$$

Egin 25 ken 9.

$$9x^{2}+7x-16=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 9 balioa a balioarekin, 7 balioa b balioarekin, eta -16 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 9\left(-16\right)}}{2\times 9}$$

Egin 7 ber bi.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 9\left(-16\right)}}{2\times 9}$$

Egin -4 bider 9.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-36\left(-16\right)}}{2\times 9}$$

Egin -36 bider -16.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+576}}{2\times 9}$$

Gehitu 49 eta 576.

$$x=\frac{-7±\sqrt{625}}{2\times 9}$$

Atera 625 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-7±25}{2\times 9}$$

Egin 2 bider 9.

$$x=\frac{-7±25}{18}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-7±25}{18} ekuazioa ± plus denean. Gehitu -7 eta 25.

$$x=\frac{18}{18}$$

Zatitu 18 balioa 18 balioarekin.

$$x=1$$

Orain, ebatzi x=\frac{-7±25}{18} ekuazioa ± minus denean. Egin 25 ken -7.

$$x=-\frac{32}{18}$$

Murriztu \frac{-32}{18} zatikia gai txikienera, 2 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x=-\frac{16}{9}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=1 x=-\frac{16}{9}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$9x^{2}+7x+9=25$$

Egin ken 9 ekuazioaren bi aldeetan.

$$9x^{2}+7x+9-9=25-9$$

9 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$9x^{2}+7x=25-9$$

Egin 9 ken 25.

$$9x^{2}+7x=16$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 9 balioarekin.

$$\frac{9x^{2}+7x}{9}=\frac{16}{9}$$

9 balioarekin zatituz gero, 9 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\frac{7}{9}x=\frac{16}{9}$$

Zatitu \frac{7}{9} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta \frac{7}{18} lortuko duzu. Ondoren, gehitu \frac{7}{18} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}+\frac{7}{9}x+\left(\frac{7}{18}\right)^{2}=\frac{16}{9}+\left(\frac{7}{18}\right)^{2}$$

Egin \frac{7}{18} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}+\frac{7}{9}x+\frac{49}{324}=\frac{16}{9}+\frac{49}{324}$$

Gehitu \frac{16}{9} eta \frac{49}{324} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x^{2}+\frac{7}{9}x+\frac{49}{324}=\frac{625}{324}$$

Atera x^{2}+\frac{7}{9}x+\frac{49}{324} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x+\frac{7}{18}\right)^{2}=\frac{625}{324}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{18}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{625}{324}}$$

Sinplifikatu.

$$x+\frac{7}{18}=\frac{25}{18} x+\frac{7}{18}=-\frac{25}{18}$$

Egin ken \frac{7}{18} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=1 x=-\frac{16}{9}$$