Resolver 9x^2+14x+21=0

$$9 x ^ { 2 } + 14 x + 21 = 0$$

Ebatzi: x (complex solution)

$$x=\frac{-7+2\sqrt{35}i}{9}\approx -0.777777778+1.314684396i$$

$$x=\frac{-2\sqrt{35}i-7}{9}\approx -0.777777778-1.314684396i$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$9x^{2}+14x+21=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 9 balioa a balioarekin, 14 balioa b balioarekin, eta 21 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-14±\sqrt{14^{2}-4\times 9\times 21}}{2\times 9}$$

Egin 14 ber bi.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-4\times 9\times 21}}{2\times 9}$$

Egin -4 bider 9.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-36\times 21}}{2\times 9}$$

Egin -36 bider 21.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-756}}{2\times 9}$$

Gehitu 196 eta -756.

$$x=\frac{-14±\sqrt{-560}}{2\times 9}$$

Atera -560 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-14±4\sqrt{35}i}{2\times 9}$$

Egin 2 bider 9.

$$x=\frac{-14±4\sqrt{35}i}{18}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-14±4\sqrt{35}i}{18} ekuazioa ± plus denean. Gehitu -14 eta 4i\sqrt{35}.

$$x=\frac{-14+4\sqrt{35}i}{18}$$

Zatitu -14+4i\sqrt{35} balioa 18 balioarekin.

$$x=\frac{-7+2\sqrt{35}i}{9}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-14±4\sqrt{35}i}{18} ekuazioa ± minus denean. Egin 4i\sqrt{35} ken -14.

$$x=\frac{-4\sqrt{35}i-14}{18}$$

Zatitu -14-4i\sqrt{35} balioa 18 balioarekin.

$$x=\frac{-2\sqrt{35}i-7}{9}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=\frac{-7+2\sqrt{35}i}{9} x=\frac{-2\sqrt{35}i-7}{9}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$9x^{2}+14x+21=0$$

Egin ken 21 ekuazioaren bi aldeetan.

$$9x^{2}+14x+21-21=-21$$

21 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$9x^{2}+14x=-21$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 9 balioarekin.

$$\frac{9x^{2}+14x}{9}=-\frac{21}{9}$$

9 balioarekin zatituz gero, 9 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\frac{14}{9}x=-\frac{21}{9}$$

Murriztu \frac{-21}{9} zatikia gai txikienera, 3 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x^{2}+\frac{14}{9}x=-\frac{7}{3}$$

Zatitu \frac{14}{9} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta \frac{7}{9} lortuko duzu. Ondoren, gehitu \frac{7}{9} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}+\frac{14}{9}x+\left(\frac{7}{9}\right)^{2}=-\frac{7}{3}+\left(\frac{7}{9}\right)^{2}$$

Egin \frac{7}{9} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}+\frac{14}{9}x+\frac{49}{81}=-\frac{7}{3}+\frac{49}{81}$$

Gehitu -\frac{7}{3} eta \frac{49}{81} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x^{2}+\frac{14}{9}x+\frac{49}{81}=-\frac{140}{81}$$

Atera x^{2}+\frac{14}{9}x+\frac{49}{81} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x+\frac{7}{9}\right)^{2}=-\frac{140}{81}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{9}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{140}{81}}$$

Sinplifikatu.

$$x+\frac{7}{9}=\frac{2\sqrt{35}i}{9} x+\frac{7}{9}=-\frac{2\sqrt{35}i}{9}$$

Egin ken \frac{7}{9} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{-7+2\sqrt{35}i}{9} x=\frac{-2\sqrt{35}i-7}{9}$$