Resolver 9y^2=12y-4

$$9 { y }^{ 2 } = 12y-4$$

Ebatzi: y

$$y=\frac{2}{3}\approx 0.666666667$$

Faktorizazioa darabilten urratsak, taldekatzearen arabera

Kendu 12y bi aldeetatik.

$$9y^{2}-12y=-4$$

Gehitu 4 bi aldeetan.

$$9y^{2}-12y+4=0$$

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu ezkerraldea taldekatzearen bidez. Lehenik, 9y^{2}+ay+by+4 gisa idatzi behar da ezkerraldea. a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=-12 ab=9\times 4=36$$

ab positiboa denez, a eta b balioek zeinu bera dute. a+b negatiboa denez, a eta b negatiboak dira. Zerrendatu 36 biderkadura duten osokoen pare guztiak.

$$-1,-36 -2,-18 -3,-12 -4,-9 -6,-6$$

Kalkulatu pare bakoitzaren batura.

$$-1-36=-37 -2-18=-20 -3-12=-15 -4-9=-13 -6-6=-12$$

-12 batura duen parea da soluzioa.

$$a=-6 b=-6$$

Berridatzi 9y^{2}-12y+4 honela: \left(9y^{2}-6y\right)+\left(-6y+4\right).

$$\left(9y^{2}-6y\right)+\left(-6y+4\right)$$

Deskonposatu 3y lehen taldean, eta -2 bigarren taldean.

$$3y\left(3y-2\right)-2\left(3y-2\right)$$

Deskonposatu 3y-2 gai arrunta banaketa-propietatea erabiliz.

$$\left(3y-2\right)\left(3y-2\right)$$

Berridatzi karratu binomial gisa.

$$\left(3y-2\right)^{2}$$

Ekuazioaren soluzioa aurkitzeko, ebatzi 3y-2=0.

$$y=\frac{2}{3}$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Kendu 12y bi aldeetatik.

$$9y^{2}-12y=-4$$

Gehitu 4 bi aldeetan.

$$9y^{2}-12y+4=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 9 balioa a balioarekin, -12 balioa b balioarekin, eta 4 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 9\times 4}}{2\times 9}$$

Egin -12 ber bi.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 9\times 4}}{2\times 9}$$

Egin -4 bider 9.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-36\times 4}}{2\times 9}$$

Egin -36 bider 4.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-144}}{2\times 9}$$

Gehitu 144 eta -144.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{0}}{2\times 9}$$

Atera 0 balioaren erro karratua.

$$y=-\frac{-12}{2\times 9}$$

-12 zenbakiaren aurkakoa 12 da.

$$y=\frac{12}{2\times 9}$$

Egin 2 bider 9.

$$y=\frac{12}{18}$$

Murriztu \frac{12}{18} zatikia gai txikienera, 6 bakanduta eta ezeztatuta.

$$y=\frac{2}{3}$$

Karratua osatzeko urratsak

Kendu 12y bi aldeetatik.

$$9y^{2}-12y=-4$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 9 balioarekin.

$$\frac{9y^{2}-12y}{9}=-\frac{4}{9}$$

9 balioarekin zatituz gero, 9 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$y^{2}+\left(-\frac{12}{9}\right)y=-\frac{4}{9}$$

Murriztu \frac{-12}{9} zatikia gai txikienera, 3 bakanduta eta ezeztatuta.

$$y^{2}-\frac{4}{3}y=-\frac{4}{9}$$

Zatitu -\frac{4}{3} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{2}{3} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{2}{3} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$y^{2}-\frac{4}{3}y+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}=-\frac{4}{9}+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}$$

Egin -\frac{2}{3} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$y^{2}-\frac{4}{3}y+\frac{4}{9}=\frac{-4+4}{9}$$

Gehitu -\frac{4}{9} eta \frac{4}{9} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$y^{2}-\frac{4}{3}y+\frac{4}{9}=0$$

Atera y^{2}-\frac{4}{3}y+\frac{4}{9} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(y-\frac{2}{3}\right)^{2}=0$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(y-\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Sinplifikatu.

$$y-\frac{2}{3}=0 y-\frac{2}{3}=0$$

Gehitu \frac{2}{3} ekuazioaren bi aldeetan.

$$y=\frac{2}{3} y=\frac{2}{3}$$

Ebatzi da ekuazioa. Soluzioak berdinak dira.

$$y=\frac{2}{3}$$