Resolver 9x^2-12x+4=0

$$9 { x }^{ 2 } -12x+4=0$$

Ebatzi: x

$$x=\frac{2}{3}\approx 0.666666667$$

Faktorizazioa darabilten urratsak, taldekatzearen arabera

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu ezkerraldea taldekatzearen bidez. Lehenik, 9x^{2}+ax+bx+4 gisa idatzi behar da ezkerraldea. a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=-12 ab=9\times 4=36$$

ab positiboa denez, a eta b balioek zeinu bera dute. a+b negatiboa denez, a eta b negatiboak dira. Zerrendatu 36 biderkadura duten osokoen pare guztiak.

$$-1,-36 -2,-18 -3,-12 -4,-9 -6,-6$$

Kalkulatu pare bakoitzaren batura.

$$-1-36=-37 -2-18=-20 -3-12=-15 -4-9=-13 -6-6=-12$$

-12 batura duen parea da soluzioa.

$$a=-6 b=-6$$

Berridatzi 9x^{2}-12x+4 honela: \left(9x^{2}-6x\right)+\left(-6x+4\right).

$$\left(9x^{2}-6x\right)+\left(-6x+4\right)$$

Deskonposatu 3x lehen taldean, eta -2 bigarren taldean.

$$3x\left(3x-2\right)-2\left(3x-2\right)$$

Deskonposatu 3x-2 gai arrunta banaketa-propietatea erabiliz.

$$\left(3x-2\right)\left(3x-2\right)$$

Berridatzi karratu binomial gisa.

$$\left(3x-2\right)^{2}$$

Ekuazioaren soluzioa aurkitzeko, ebatzi 3x-2=0.

$$x=\frac{2}{3}$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$9x^{2}-12x+4=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 9 balioa a balioarekin, -12 balioa b balioarekin, eta 4 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 9\times 4}}{2\times 9}$$

Egin -12 ber bi.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 9\times 4}}{2\times 9}$$

Egin -4 bider 9.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-36\times 4}}{2\times 9}$$

Egin -36 bider 4.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-144}}{2\times 9}$$

Gehitu 144 eta -144.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{0}}{2\times 9}$$

Atera 0 balioaren erro karratua.

$$x=-\frac{-12}{2\times 9}$$

-12 zenbakiaren aurkakoa 12 da.

$$x=\frac{12}{2\times 9}$$

Egin 2 bider 9.

$$x=\frac{12}{18}$$

Murriztu \frac{12}{18} zatikia gai txikienera, 6 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x=\frac{2}{3}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$9x^{2}-12x+4=0$$

Egin ken 4 ekuazioaren bi aldeetan.

$$9x^{2}-12x+4-4=-4$$

4 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$9x^{2}-12x=-4$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 9 balioarekin.

$$\frac{9x^{2}-12x}{9}=-\frac{4}{9}$$

9 balioarekin zatituz gero, 9 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\left(-\frac{12}{9}\right)x=-\frac{4}{9}$$

Murriztu \frac{-12}{9} zatikia gai txikienera, 3 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x=-\frac{4}{9}$$

Zatitu -\frac{4}{3} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{2}{3} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{2}{3} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}=-\frac{4}{9}+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}$$

Egin -\frac{2}{3} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{-4+4}{9}$$

Gehitu -\frac{4}{9} eta \frac{4}{9} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=0$$

Atera x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x-\frac{2}{3}\right)^{2}=0$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x-\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Sinplifikatu.

$$x-\frac{2}{3}=0 x-\frac{2}{3}=0$$

Gehitu \frac{2}{3} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{2}{3} x=\frac{2}{3}$$

Ebatzi da ekuazioa. Soluzioak berdinak dira.

$$x=\frac{2}{3}$$