Resolver 8x^2-12x-11=0

$$8 x ^ { 2 } - 12 x - 11 = 0$$

Ebatzi: x

$$x = \frac{\sqrt{31} + 3}{4} \approx 2.141941091$$

$$x=\frac{3-\sqrt{31}}{4}\approx -0.641941091$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$8x^{2}-12x-11=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 8 balioa a balioarekin, -12 balioa b balioarekin, eta -11 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 8\left(-11\right)}}{2\times 8}$$

Egin -12 ber bi.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 8\left(-11\right)}}{2\times 8}$$

Egin -4 bider 8.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-32\left(-11\right)}}{2\times 8}$$

Egin -32 bider -11.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144+352}}{2\times 8}$$

Gehitu 144 eta 352.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{496}}{2\times 8}$$

Atera 496 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±4\sqrt{31}}{2\times 8}$$

-12 zenbakiaren aurkakoa 12 da.

$$x=\frac{12±4\sqrt{31}}{2\times 8}$$

Egin 2 bider 8.

$$x=\frac{12±4\sqrt{31}}{16}$$

Orain, ebatzi x=\frac{12±4\sqrt{31}}{16} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 12 eta 4\sqrt{31}.

$$x=\frac{4\sqrt{31}+12}{16}$$

Zatitu 12+4\sqrt{31} balioa 16 balioarekin.

$$x=\frac{\sqrt{31}+3}{4}$$

Orain, ebatzi x=\frac{12±4\sqrt{31}}{16} ekuazioa ± minus denean. Egin 4\sqrt{31} ken 12.

$$x=\frac{12-4\sqrt{31}}{16}$$

Zatitu 12-4\sqrt{31} balioa 16 balioarekin.

$$x=\frac{3-\sqrt{31}}{4}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=\frac{\sqrt{31}+3}{4} x=\frac{3-\sqrt{31}}{4}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$8x^{2}-12x-11=0$$

Gehitu 11 ekuazioaren bi aldeetan.

$$8x^{2}-12x-11-\left(-11\right)=-\left(-11\right)$$

-11 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$8x^{2}-12x=-\left(-11\right)$$

Egin -11 ken 0.

$$8x^{2}-12x=11$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 8 balioarekin.

$$\frac{8x^{2}-12x}{8}=\frac{11}{8}$$

8 balioarekin zatituz gero, 8 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\left(-\frac{12}{8}\right)x=\frac{11}{8}$$

Murriztu \frac{-12}{8} zatikia gai txikienera, 4 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x=\frac{11}{8}$$

Zatitu -\frac{3}{2} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{3}{4} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{3}{4} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{11}{8}+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}$$

Egin -\frac{3}{4} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{11}{8}+\frac{9}{16}$$

Gehitu \frac{11}{8} eta \frac{9}{16} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{31}{16}$$

Atera x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{31}{16}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{31}{16}}$$

Sinplifikatu.

$$x-\frac{3}{4}=\frac{\sqrt{31}}{4} x-\frac{3}{4}=-\frac{\sqrt{31}}{4}$$

Gehitu \frac{3}{4} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{\sqrt{31}+3}{4} x=\frac{3-\sqrt{31}}{4}$$