Resolver 7x^2+5x-78=0

$$7 x ^ { 2 } + 5 x - 78 = 0$$

Ebatzi: x

$$x = -\frac{26}{7} = -3\frac{5}{7} \approx -3.714285714$$

$$x=3$$

Faktorizazioa darabilten urratsak, taldekatzearen arabera

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu ezkerraldea taldekatzearen bidez. Lehenik, 7x^{2}+ax+bx-78 gisa idatzi behar da ezkerraldea. a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=5 ab=7\left(-78\right)=-546$$

ab negatiboa denez, a eta b balioek kontrako zeinuak dituzte. a+b positiboa denez, zenbaki positiboak negatiboak baino balio absolutu handiagoa du. Zerrendatu -546 biderkadura duten osokoen pare guztiak.

$$-1,546 -2,273 -3,182 -6,91 -7,78 -13,42 -14,39 -21,26$$

Kalkulatu pare bakoitzaren batura.

$$-1+546=545 -2+273=271 -3+182=179 -6+91=85 -7+78=71 -13+42=29 -14+39=25 -21+26=5$$

5 batura duen parea da soluzioa.

$$a=-21 b=26$$

Berridatzi 7x^{2}+5x-78 honela: \left(7x^{2}-21x\right)+\left(26x-78\right).

$$\left(7x^{2}-21x\right)+\left(26x-78\right)$$

Deskonposatu 7x lehen taldean, eta 26 bigarren taldean.

$$7x\left(x-3\right)+26\left(x-3\right)$$

Deskonposatu x-3 gai arrunta banaketa-propietatea erabiliz.

$$\left(x-3\right)\left(7x+26\right)$$

Ekuazioaren soluzioak aurkitzeko, ebatzi x-3=0 eta 7x+26=0.

$$x=3 x=-\frac{26}{7}$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$7x^{2}+5x-78=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 7 balioa a balioarekin, 5 balioa b balioarekin, eta -78 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 7\left(-78\right)}}{2\times 7}$$

Egin 5 ber bi.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 7\left(-78\right)}}{2\times 7}$$

Egin -4 bider 7.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-28\left(-78\right)}}{2\times 7}$$

Egin -28 bider -78.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+2184}}{2\times 7}$$

Gehitu 25 eta 2184.

$$x=\frac{-5±\sqrt{2209}}{2\times 7}$$

Atera 2209 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-5±47}{2\times 7}$$

Egin 2 bider 7.

$$x=\frac{-5±47}{14}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-5±47}{14} ekuazioa ± plus denean. Gehitu -5 eta 47.

$$x=\frac{42}{14}$$

Zatitu 42 balioa 14 balioarekin.

$$x=3$$

Orain, ebatzi x=\frac{-5±47}{14} ekuazioa ± minus denean. Egin 47 ken -5.

$$x=-\frac{52}{14}$$

Murriztu \frac{-52}{14} zatikia gai txikienera, 2 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x=-\frac{26}{7}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=3 x=-\frac{26}{7}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$7x^{2}+5x-78=0$$

Gehitu 78 ekuazioaren bi aldeetan.

$$7x^{2}+5x-78-\left(-78\right)=-\left(-78\right)$$

-78 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$7x^{2}+5x=-\left(-78\right)$$

Egin -78 ken 0.

$$7x^{2}+5x=78$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 7 balioarekin.

$$\frac{7x^{2}+5x}{7}=\frac{78}{7}$$

7 balioarekin zatituz gero, 7 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\frac{5}{7}x=\frac{78}{7}$$

Zatitu \frac{5}{7} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta \frac{5}{14} lortuko duzu. Ondoren, gehitu \frac{5}{14} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}+\frac{5}{7}x+\left(\frac{5}{14}\right)^{2}=\frac{78}{7}+\left(\frac{5}{14}\right)^{2}$$

Egin \frac{5}{14} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}+\frac{5}{7}x+\frac{25}{196}=\frac{78}{7}+\frac{25}{196}$$

Gehitu \frac{78}{7} eta \frac{25}{196} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x^{2}+\frac{5}{7}x+\frac{25}{196}=\frac{2209}{196}$$

Atera x^{2}+\frac{5}{7}x+\frac{25}{196} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x+\frac{5}{14}\right)^{2}=\frac{2209}{196}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{14}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2209}{196}}$$

Sinplifikatu.

$$x+\frac{5}{14}=\frac{47}{14} x+\frac{5}{14}=-\frac{47}{14}$$

Egin ken \frac{5}{14} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=3 x=-\frac{26}{7}$$