Resolver 7x+y=25text{dan}x-7y=25

$$7 x + y = 25 \text { dan } x - 7 y = 25$$

Ebatzi: x, y

$$x=4$$

$$y=-3$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$7x+y=25,x-7y=25$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$7x+y=25$$

Egin ken y ekuazioaren bi aldeetan.

$$7x=-y+25$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 7 balioarekin.

$$x=\frac{1}{7}\left(-y+25\right)$$

Egin \frac{1}{7} bider -y+25.

$$x=-\frac{1}{7}y+\frac{25}{7}$$

Ordeztu \frac{-y+25}{7} balioa x balioarekin beste ekuazioan (x-7y=25).

$$-\frac{1}{7}y+\frac{25}{7}-7y=25$$

Gehitu -\frac{y}{7} eta -7y.

$$-\frac{50}{7}y+\frac{25}{7}=25$$

Egin ken \frac{25}{7} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-\frac{50}{7}y=\frac{150}{7}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{50}{7} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=-3$$

Ordeztu -3 y balioarekin x=-\frac{1}{7}y+\frac{25}{7} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{1}{7}\left(-3\right)+\frac{25}{7}$$

Egin -\frac{1}{7} bider -3.

$$x=\frac{3+25}{7}$$

Gehitu \frac{25}{7} eta \frac{3}{7} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=4$$

Ebatzi da sistema.

$$x=4,y=-3$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$7x+y=25,x-7y=25$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}7&1\\1&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}25\\25\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}7&1\\1&-7\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&1\\1&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&1\\1&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&1\\1&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25\\25\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&1\\1&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25\\25\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&1\\1&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25\\25\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{7\left(-7\right)-1}&-\frac{1}{7\left(-7\right)-1}\\-\frac{1}{7\left(-7\right)-1}&\frac{7}{7\left(-7\right)-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}25\\25\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{50}&\frac{1}{50}\\\frac{1}{50}&-\frac{7}{50}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}25\\25\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{50}\times 25+\frac{1}{50}\times 25\\\frac{1}{50}\times 25-\frac{7}{50}\times 25\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-3\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=4,y=-3$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$7x+y=25,x-7y=25$$

7x eta x berdintzeko, biderkatu 1 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 7 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$7x+y=25,7x+7\left(-7\right)y=7\times 25$$

Sinplifikatu.

$$7x+y=25,7x-49y=175$$

Egin 7x-49y=175 ken 7x+y=25 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$7x-7x+y+49y=25-175$$

Gehitu 7x eta -7x. Sinplifikatu egiten dira 7x eta -7x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$y+49y=25-175$$

Gehitu y eta 49y.

$$50y=25-175$$

Gehitu 25 eta -175.

$$50y=-150$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 50 balioarekin.

$$y=-3$$

Ordeztu -3 y balioarekin x-7y=25 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x-7\left(-3\right)=25$$

Egin -7 bider -3.

$$x+21=25$$

Egin ken 21 ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=4$$

Ebatzi da sistema.

$$x=4,y=-3$$