Resolver 7t^2-32t+12=0

$$7 t ^ { 2 } - 32 t + 12 = 0$$

Ebatzi: t

$$t = \frac{2 \sqrt{43} + 16}{7} \approx 4.15926815$$

$$t=\frac{16-2\sqrt{43}}{7}\approx 0.412160422$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$7t^{2}-32t+12=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 7 balioa a balioarekin, -32 balioa b balioarekin, eta 12 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$t=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{\left(-32\right)^{2}-4\times 7\times 12}}{2\times 7}$$

Egin -32 ber bi.

$$t=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-4\times 7\times 12}}{2\times 7}$$

Egin -4 bider 7.

$$t=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-28\times 12}}{2\times 7}$$

Egin -28 bider 12.

$$t=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-336}}{2\times 7}$$

Gehitu 1024 eta -336.

$$t=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{688}}{2\times 7}$$

Atera 688 balioaren erro karratua.

$$t=\frac{-\left(-32\right)±4\sqrt{43}}{2\times 7}$$

-32 zenbakiaren aurkakoa 32 da.

$$t=\frac{32±4\sqrt{43}}{2\times 7}$$

Egin 2 bider 7.

$$t=\frac{32±4\sqrt{43}}{14}$$

Orain, ebatzi t=\frac{32±4\sqrt{43}}{14} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 32 eta 4\sqrt{43}.

$$t=\frac{4\sqrt{43}+32}{14}$$

Zatitu 32+4\sqrt{43} balioa 14 balioarekin.

$$t=\frac{2\sqrt{43}+16}{7}$$

Orain, ebatzi t=\frac{32±4\sqrt{43}}{14} ekuazioa ± minus denean. Egin 4\sqrt{43} ken 32.

$$t=\frac{32-4\sqrt{43}}{14}$$

Zatitu 32-4\sqrt{43} balioa 14 balioarekin.

$$t=\frac{16-2\sqrt{43}}{7}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$t=\frac{2\sqrt{43}+16}{7} t=\frac{16-2\sqrt{43}}{7}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$7t^{2}-32t+12=0$$

Egin ken 12 ekuazioaren bi aldeetan.

$$7t^{2}-32t+12-12=-12$$

12 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$7t^{2}-32t=-12$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 7 balioarekin.

$$\frac{7t^{2}-32t}{7}=-\frac{12}{7}$$

7 balioarekin zatituz gero, 7 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$t^{2}-\frac{32}{7}t=-\frac{12}{7}$$

Zatitu -\frac{32}{7} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{16}{7} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{16}{7} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$t^{2}-\frac{32}{7}t+\left(-\frac{16}{7}\right)^{2}=-\frac{12}{7}+\left(-\frac{16}{7}\right)^{2}$$

Egin -\frac{16}{7} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$t^{2}-\frac{32}{7}t+\frac{256}{49}=-\frac{12}{7}+\frac{256}{49}$$

Gehitu -\frac{12}{7} eta \frac{256}{49} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$t^{2}-\frac{32}{7}t+\frac{256}{49}=\frac{172}{49}$$

Atera t^{2}-\frac{32}{7}t+\frac{256}{49} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(t-\frac{16}{7}\right)^{2}=\frac{172}{49}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(t-\frac{16}{7}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{172}{49}}$$

Sinplifikatu.

$$t-\frac{16}{7}=\frac{2\sqrt{43}}{7} t-\frac{16}{7}=-\frac{2\sqrt{43}}{7}$$

Gehitu \frac{16}{7} ekuazioaren bi aldeetan.

$$t=\frac{2\sqrt{43}+16}{7} t=\frac{16-2\sqrt{43}}{7}$$