Resolver 6x^2-x=40

$$6 x ^ { 2 } - x = 40$$

Ebatzi: x

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2.5$$

$$x = \frac{8}{3} = 2\frac{2}{3} \approx 2.666666667$$

Faktorizazioa darabilten urratsak, taldekatzearen arabera

Kendu 40 bi aldeetatik.

$$6x^{2}-x-40=0$$

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu ezkerraldea taldekatzearen bidez. Lehenik, 6x^{2}+ax+bx-40 gisa idatzi behar da ezkerraldea. a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=-1 ab=6\left(-40\right)=-240$$

ab negatiboa denez, a eta b balioek kontrako zeinuak dituzte. a+b negatiboa denez, zenbaki negatiboak positiboak baino balio absolutu handiagoa du. Zerrendatu -240 biderkadura duten osokoen pare guztiak.

$$1,-240 2,-120 3,-80 4,-60 5,-48 6,-40 8,-30 10,-24 12,-20 15,-16$$

Kalkulatu pare bakoitzaren batura.

$$1-240=-239 2-120=-118 3-80=-77 4-60=-56 5-48=-43 6-40=-34 8-30=-22 10-24=-14 12-20=-8 15-16=-1$$

-1 batura duen parea da soluzioa.

$$a=-16 b=15$$

Berridatzi 6x^{2}-x-40 honela: \left(6x^{2}-16x\right)+\left(15x-40\right).

$$\left(6x^{2}-16x\right)+\left(15x-40\right)$$

Deskonposatu 2x lehen taldean, eta 5 bigarren taldean.

$$2x\left(3x-8\right)+5\left(3x-8\right)$$

Deskonposatu 3x-8 gai arrunta banaketa-propietatea erabiliz.

$$\left(3x-8\right)\left(2x+5\right)$$

Ekuazioaren soluzioak aurkitzeko, ebatzi 3x-8=0 eta 2x+5=0.

$$x=\frac{8}{3} x=-\frac{5}{2}$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$6x^{2}-x=40$$

Egin ken 40 ekuazioaren bi aldeetan.

$$6x^{2}-x-40=40-40$$

40 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$6x^{2}-x-40=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 6 balioa a balioarekin, -1 balioa b balioarekin, eta -40 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 6\left(-40\right)}}{2\times 6}$$

Egin -4 bider 6.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-24\left(-40\right)}}{2\times 6}$$

Egin -24 bider -40.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+960}}{2\times 6}$$

Gehitu 1 eta 960.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{961}}{2\times 6}$$

Atera 961 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±31}{2\times 6}$$

-1 zenbakiaren aurkakoa 1 da.

$$x=\frac{1±31}{2\times 6}$$

Egin 2 bider 6.

$$x=\frac{1±31}{12}$$

Orain, ebatzi x=\frac{1±31}{12} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 1 eta 31.

$$x=\frac{32}{12}$$

Murriztu \frac{32}{12} zatikia gai txikienera, 4 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x=\frac{8}{3}$$

Orain, ebatzi x=\frac{1±31}{12} ekuazioa ± minus denean. Egin 31 ken 1.

$$x=-\frac{30}{12}$$

Murriztu \frac{-30}{12} zatikia gai txikienera, 6 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x=-\frac{5}{2}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=\frac{8}{3} x=-\frac{5}{2}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$6x^{2}-x=40$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 6 balioarekin.

$$\frac{6x^{2}-x}{6}=\frac{40}{6}$$

6 balioarekin zatituz gero, 6 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x=\frac{40}{6}$$

Murriztu \frac{40}{6} zatikia gai txikienera, 2 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x=\frac{20}{3}$$

Zatitu -\frac{1}{6} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{1}{12} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{1}{12} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x+\left(-\frac{1}{12}\right)^{2}=\frac{20}{3}+\left(-\frac{1}{12}\right)^{2}$$

Egin -\frac{1}{12} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x+\frac{1}{144}=\frac{20}{3}+\frac{1}{144}$$

Gehitu \frac{20}{3} eta \frac{1}{144} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x+\frac{1}{144}=\frac{961}{144}$$

Atera x^{2}-\frac{1}{6}x+\frac{1}{144} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x-\frac{1}{12}\right)^{2}=\frac{961}{144}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{961}{144}}$$

Sinplifikatu.

$$x-\frac{1}{12}=\frac{31}{12} x-\frac{1}{12}=-\frac{31}{12}$$

Gehitu \frac{1}{12} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{8}{3} x=-\frac{5}{2}$$