Resolver 6x^2-9x-60=0

$$6 x ^ { 2 } - 9 x - 60 = 0$$

Ebatzi: x

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2.5$$

$$x=4$$

Faktorizazioa darabilten urratsak, taldekatzearen arabera

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$2x^{2}-3x-20=0$$

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu ezkerraldea taldekatzearen bidez. Lehenik, 2x^{2}+ax+bx-20 gisa idatzi behar da ezkerraldea. a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=-3 ab=2\left(-20\right)=-40$$

ab negatiboa denez, a eta b balioek kontrako zeinuak dituzte. a+b negatiboa denez, zenbaki negatiboak positiboak baino balio absolutu handiagoa du. Zerrendatu -40 biderkadura duten osokoen pare guztiak.

$$1,-40 2,-20 4,-10 5,-8$$

Kalkulatu pare bakoitzaren batura.

$$1-40=-39 2-20=-18 4-10=-6 5-8=-3$$

-3 batura duen parea da soluzioa.

$$a=-8 b=5$$

Berridatzi 2x^{2}-3x-20 honela: \left(2x^{2}-8x\right)+\left(5x-20\right).

$$\left(2x^{2}-8x\right)+\left(5x-20\right)$$

Deskonposatu 2x lehen taldean, eta 5 bigarren taldean.

$$2x\left(x-4\right)+5\left(x-4\right)$$

Deskonposatu x-4 gai arrunta banaketa-propietatea erabiliz.

$$\left(x-4\right)\left(2x+5\right)$$

Ekuazioaren soluzioak aurkitzeko, ebatzi x-4=0 eta 2x+5=0.

$$x=4 x=-\frac{5}{2}$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$6x^{2}-9x-60=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 6 balioa a balioarekin, -9 balioa b balioarekin, eta -60 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\times 6\left(-60\right)}}{2\times 6}$$

Egin -9 ber bi.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-4\times 6\left(-60\right)}}{2\times 6}$$

Egin -4 bider 6.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-24\left(-60\right)}}{2\times 6}$$

Egin -24 bider -60.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81+1440}}{2\times 6}$$

Gehitu 81 eta 1440.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{1521}}{2\times 6}$$

Atera 1521 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±39}{2\times 6}$$

-9 zenbakiaren aurkakoa 9 da.

$$x=\frac{9±39}{2\times 6}$$

Egin 2 bider 6.

$$x=\frac{9±39}{12}$$

Orain, ebatzi x=\frac{9±39}{12} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 9 eta 39.

$$x=\frac{48}{12}$$

Zatitu 48 balioa 12 balioarekin.

$$x=4$$

Orain, ebatzi x=\frac{9±39}{12} ekuazioa ± minus denean. Egin 39 ken 9.

$$x=-\frac{30}{12}$$

Murriztu \frac{-30}{12} zatikia gai txikienera, 6 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x=-\frac{5}{2}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=4 x=-\frac{5}{2}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$6x^{2}-9x-60=0$$

Gehitu 60 ekuazioaren bi aldeetan.

$$6x^{2}-9x-60-\left(-60\right)=-\left(-60\right)$$

-60 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$6x^{2}-9x=-\left(-60\right)$$

Egin -60 ken 0.

$$6x^{2}-9x=60$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 6 balioarekin.

$$\frac{6x^{2}-9x}{6}=\frac{60}{6}$$

6 balioarekin zatituz gero, 6 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\left(-\frac{9}{6}\right)x=\frac{60}{6}$$

Murriztu \frac{-9}{6} zatikia gai txikienera, 3 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x=\frac{60}{6}$$

Zatitu 60 balioa 6 balioarekin.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x=10$$

Zatitu -\frac{3}{2} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{3}{4} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{3}{4} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}=10+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}$$

Egin -\frac{3}{4} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=10+\frac{9}{16}$$

Gehitu 10 eta \frac{9}{16}.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{169}{16}$$

Atera x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{169}{16}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{16}}$$

Sinplifikatu.

$$x-\frac{3}{4}=\frac{13}{4} x-\frac{3}{4}=-\frac{13}{4}$$

Gehitu \frac{3}{4} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=4 x=-\frac{5}{2}$$