Resolver 6x^2+19x-7=0

$$6 { x }^{ 2 } +19x-7=0$$

Ebatzi: x

$$x = -\frac{7}{2} = -3\frac{1}{2} = -3.5$$

$$x=\frac{1}{3}\approx 0.333333333$$

Faktorizazioa darabilten urratsak, taldekatzearen arabera

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu ezkerraldea taldekatzearen bidez. Lehenik, 6x^{2}+ax+bx-7 gisa idatzi behar da ezkerraldea. a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=19 ab=6\left(-7\right)=-42$$

ab negatiboa denez, a eta b balioek kontrako zeinuak dituzte. a+b positiboa denez, zenbaki positiboak negatiboak baino balio absolutu handiagoa du. Zerrendatu -42 biderkadura duten osokoen pare guztiak.

$$-1,42 -2,21 -3,14 -6,7$$

Kalkulatu pare bakoitzaren batura.

$$-1+42=41 -2+21=19 -3+14=11 -6+7=1$$

19 batura duen parea da soluzioa.

$$a=-2 b=21$$

Berridatzi 6x^{2}+19x-7 honela: \left(6x^{2}-2x\right)+\left(21x-7\right).

$$\left(6x^{2}-2x\right)+\left(21x-7\right)$$

Deskonposatu 2x lehen taldean, eta 7 bigarren taldean.

$$2x\left(3x-1\right)+7\left(3x-1\right)$$

Deskonposatu 3x-1 gai arrunta banaketa-propietatea erabiliz.

$$\left(3x-1\right)\left(2x+7\right)$$

Ekuazioaren soluzioak aurkitzeko, ebatzi 3x-1=0 eta 2x+7=0.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{7}{2}$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$6x^{2}+19x-7=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 6 balioa a balioarekin, 19 balioa b balioarekin, eta -7 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-19±\sqrt{19^{2}-4\times 6\left(-7\right)}}{2\times 6}$$

Egin 19 ber bi.

$$x=\frac{-19±\sqrt{361-4\times 6\left(-7\right)}}{2\times 6}$$

Egin -4 bider 6.

$$x=\frac{-19±\sqrt{361-24\left(-7\right)}}{2\times 6}$$

Egin -24 bider -7.

$$x=\frac{-19±\sqrt{361+168}}{2\times 6}$$

Gehitu 361 eta 168.

$$x=\frac{-19±\sqrt{529}}{2\times 6}$$

Atera 529 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-19±23}{2\times 6}$$

Egin 2 bider 6.

$$x=\frac{-19±23}{12}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-19±23}{12} ekuazioa ± plus denean. Gehitu -19 eta 23.

$$x=\frac{4}{12}$$

Murriztu \frac{4}{12} zatikia gai txikienera, 4 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x=\frac{1}{3}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-19±23}{12} ekuazioa ± minus denean. Egin 23 ken -19.

$$x=-\frac{42}{12}$$

Murriztu \frac{-42}{12} zatikia gai txikienera, 6 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x=-\frac{7}{2}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{7}{2}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$6x^{2}+19x-7=0$$

Gehitu 7 ekuazioaren bi aldeetan.

$$6x^{2}+19x-7-\left(-7\right)=-\left(-7\right)$$

-7 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$6x^{2}+19x=-\left(-7\right)$$

Egin -7 ken 0.

$$6x^{2}+19x=7$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 6 balioarekin.

$$\frac{6x^{2}+19x}{6}=\frac{7}{6}$$

6 balioarekin zatituz gero, 6 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\frac{19}{6}x=\frac{7}{6}$$

Zatitu \frac{19}{6} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta \frac{19}{12} lortuko duzu. Ondoren, gehitu \frac{19}{12} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}+\frac{19}{6}x+\left(\frac{19}{12}\right)^{2}=\frac{7}{6}+\left(\frac{19}{12}\right)^{2}$$

Egin \frac{19}{12} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}+\frac{19}{6}x+\frac{361}{144}=\frac{7}{6}+\frac{361}{144}$$

Gehitu \frac{7}{6} eta \frac{361}{144} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x^{2}+\frac{19}{6}x+\frac{361}{144}=\frac{529}{144}$$

Atera x^{2}+\frac{19}{6}x+\frac{361}{144} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x+\frac{19}{12}\right)^{2}=\frac{529}{144}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x+\frac{19}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{529}{144}}$$

Sinplifikatu.

$$x+\frac{19}{12}=\frac{23}{12} x+\frac{19}{12}=-\frac{23}{12}$$

Egin ken \frac{19}{12} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{7}{2}$$