Resolver 56x^2-30x+1=0

$$56 { x }^{ 2 } -30x+1=0$$

Ebatzi: x

$$x=\frac{1}{28}\approx 0.035714286$$

$$x=\frac{1}{2}=0.5$$

Faktorizazioa darabilten urratsak, taldekatzearen arabera

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu ezkerraldea taldekatzearen bidez. Lehenik, 56x^{2}+ax+bx+1 gisa idatzi behar da ezkerraldea. a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=-30 ab=56\times 1=56$$

ab positiboa denez, a eta b balioek zeinu bera dute. a+b negatiboa denez, a eta b negatiboak dira. Zerrendatu 56 biderkadura duten osokoen pare guztiak.

$$-1,-56 -2,-28 -4,-14 -7,-8$$

Kalkulatu pare bakoitzaren batura.

$$-1-56=-57 -2-28=-30 -4-14=-18 -7-8=-15$$

-30 batura duen parea da soluzioa.

$$a=-28 b=-2$$

Berridatzi 56x^{2}-30x+1 honela: \left(56x^{2}-28x\right)+\left(-2x+1\right).

$$\left(56x^{2}-28x\right)+\left(-2x+1\right)$$

Deskonposatu 28x lehen taldean, eta -1 bigarren taldean.

$$28x\left(2x-1\right)-\left(2x-1\right)$$

Deskonposatu 2x-1 gai arrunta banaketa-propietatea erabiliz.

$$\left(2x-1\right)\left(28x-1\right)$$

Ekuazioaren soluzioak aurkitzeko, ebatzi 2x-1=0 eta 28x-1=0.

$$x=\frac{1}{2} x=\frac{1}{28}$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$56x^{2}-30x+1=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 56 balioa a balioarekin, -30 balioa b balioarekin, eta 1 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{\left(-30\right)^{2}-4\times 56}}{2\times 56}$$

Egin -30 ber bi.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-4\times 56}}{2\times 56}$$

Egin -4 bider 56.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-224}}{2\times 56}$$

Gehitu 900 eta -224.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{676}}{2\times 56}$$

Atera 676 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±26}{2\times 56}$$

-30 zenbakiaren aurkakoa 30 da.

$$x=\frac{30±26}{2\times 56}$$

Egin 2 bider 56.

$$x=\frac{30±26}{112}$$

Orain, ebatzi x=\frac{30±26}{112} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 30 eta 26.

$$x=\frac{56}{112}$$

Murriztu \frac{56}{112} zatikia gai txikienera, 56 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x=\frac{1}{2}$$

Orain, ebatzi x=\frac{30±26}{112} ekuazioa ± minus denean. Egin 26 ken 30.

$$x=\frac{4}{112}$$

Murriztu \frac{4}{112} zatikia gai txikienera, 4 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x=\frac{1}{28}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=\frac{1}{2} x=\frac{1}{28}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$56x^{2}-30x+1=0$$

Egin ken 1 ekuazioaren bi aldeetan.

$$56x^{2}-30x+1-1=-1$$

1 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$56x^{2}-30x=-1$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 56 balioarekin.

$$\frac{56x^{2}-30x}{56}=-\frac{1}{56}$$

56 balioarekin zatituz gero, 56 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\left(-\frac{30}{56}\right)x=-\frac{1}{56}$$

Murriztu \frac{-30}{56} zatikia gai txikienera, 2 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x^{2}-\frac{15}{28}x=-\frac{1}{56}$$

Zatitu -\frac{15}{28} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{15}{56} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{15}{56} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}-\frac{15}{28}x+\left(-\frac{15}{56}\right)^{2}=-\frac{1}{56}+\left(-\frac{15}{56}\right)^{2}$$

Egin -\frac{15}{56} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}-\frac{15}{28}x+\frac{225}{3136}=-\frac{1}{56}+\frac{225}{3136}$$

Gehitu -\frac{1}{56} eta \frac{225}{3136} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x^{2}-\frac{15}{28}x+\frac{225}{3136}=\frac{169}{3136}$$

Atera x^{2}-\frac{15}{28}x+\frac{225}{3136} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x-\frac{15}{56}\right)^{2}=\frac{169}{3136}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x-\frac{15}{56}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{3136}}$$

Sinplifikatu.

$$x-\frac{15}{56}=\frac{13}{56} x-\frac{15}{56}=-\frac{13}{56}$$

Gehitu \frac{15}{56} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{1}{2} x=\frac{1}{28}$$