Resolver 54x^2-141x+90

$$54 { x }^{ 2 } -141x+90$$

Faktorizatu

$$3\left(2x-3\right)\left(9x-10\right)$$

Ebazpidea

Deskonposatu 3.

$$3\left(18x^{2}-47x+30\right)$$

Kasurako: 18x^{2}-47x+30. Faktorizatu adierazpena taldekatzea erabilita. Lehenik, adierazpena 18x^{2}+ax+bx+30 gisa idatzi behar da. a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=-47 ab=18\times 30=540$$

ab positiboa denez, a eta b balioek zeinu bera dute. a+b negatiboa denez, a eta b negatiboak dira. Zerrendatu 540 biderkadura duten osokoen pare guztiak.

$$-1,-540 -2,-270 -3,-180 -4,-135 -5,-108 -6,-90 -9,-60 -10,-54 -12,-45 -15,-36 -18,-30 -20,-27$$

Kalkulatu pare bakoitzaren batura.

$$-1-540=-541 -2-270=-272 -3-180=-183 -4-135=-139 -5-108=-113 -6-90=-96 -9-60=-69 -10-54=-64 -12-45=-57 -15-36=-51 -18-30=-48 -20-27=-47$$

-47 batura duen parea da soluzioa.

$$a=-27 b=-20$$

Berridatzi 18x^{2}-47x+30 honela: \left(18x^{2}-27x\right)+\left(-20x+30\right).

$$\left(18x^{2}-27x\right)+\left(-20x+30\right)$$

Deskonposatu 9x lehen taldean, eta -10 bigarren taldean.

$$9x\left(2x-3\right)-10\left(2x-3\right)$$

Deskonposatu 2x-3 gai arrunta banaketa-propietatea erabiliz.

$$\left(2x-3\right)\left(9x-10\right)$$

Berridatzi faktorizatutako adierazpen osoa.

$$3\left(2x-3\right)\left(9x-10\right)$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Polinomio koadratikoa faktorizatzeko, eraldaketa hau erabil daiteke: ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Bertan, x_{1} eta x_{2} dira ax^{2}+bx+c=0 ekuazio koadratikoaren soluzioak.

$$54x^{2}-141x+90=0$$

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$x=\frac{-\left(-141\right)±\sqrt{\left(-141\right)^{2}-4\times 54\times 90}}{2\times 54}$$

Egin -141 ber bi.

$$x=\frac{-\left(-141\right)±\sqrt{19881-4\times 54\times 90}}{2\times 54}$$

Egin -4 bider 54.

$$x=\frac{-\left(-141\right)±\sqrt{19881-216\times 90}}{2\times 54}$$

Egin -216 bider 90.

$$x=\frac{-\left(-141\right)±\sqrt{19881-19440}}{2\times 54}$$

Gehitu 19881 eta -19440.

$$x=\frac{-\left(-141\right)±\sqrt{441}}{2\times 54}$$

Atera 441 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-\left(-141\right)±21}{2\times 54}$$

-141 zenbakiaren aurkakoa 141 da.

$$x=\frac{141±21}{2\times 54}$$

Egin 2 bider 54.

$$x=\frac{141±21}{108}$$

Orain, ebatzi x=\frac{141±21}{108} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 141 eta 21.

$$x=\frac{162}{108}$$

Murriztu \frac{162}{108} zatikia gai txikienera, 54 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x=\frac{3}{2}$$

Orain, ebatzi x=\frac{141±21}{108} ekuazioa ± minus denean. Egin 21 ken 141.

$$x=\frac{120}{108}$$

Murriztu \frac{120}{108} zatikia gai txikienera, 12 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x=\frac{10}{9}$$

Faktorizatu jatorrizko adierazpena ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) erabilita. Ordeztu \frac{3}{2} x_{1} faktorean, eta \frac{10}{9} x_{2} faktorean.

$$54x^{2}-141x+90=54\left(x-\frac{3}{2}\right)\left(x-\frac{10}{9}\right)$$

Egin \frac{3}{2} ken x izendatzaile komuna aurkitu, eta zenbakitzaileen arteko kenketa eginda. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$54x^{2}-141x+90=54\times \frac{2x-3}{2}\left(x-\frac{10}{9}\right)$$

Egin \frac{10}{9} ken x izendatzaile komuna aurkitu, eta zenbakitzaileen arteko kenketa eginda. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$54x^{2}-141x+90=54\times \frac{2x-3}{2}\times \frac{9x-10}{9}$$

Egin \frac{2x-3}{2} bider \frac{9x-10}{9}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$54x^{2}-141x+90=54\times \frac{\left(2x-3\right)\left(9x-10\right)}{2\times 9}$$

Egin 2 bider 9.

$$54x^{2}-141x+90=54\times \frac{\left(2x-3\right)\left(9x-10\right)}{18}$$

Deuseztatu 54 eta 18 balioen faktore komunetan handiena (18).

$$54x^{2}-141x+90=3\left(2x-3\right)\left(9x-10\right)$$

Ebaluatu

$$54x^{2}-141x+90$$