Resolver 50x-2x^2-300=0

$$50 x - 2 x ^ { 2 } - 300 = 0$$

Ebatzi: x

$$x=10$$

$$x=15$$

Faktorizazioa darabilten urratsak, taldekatzearen arabera

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$25x-x^{2}-150=0$$

Berrantolatu polinomioa, ohiko eran jartzeko. Ordenatu gaiak berretura handienetik txikienera.

$$-x^{2}+25x-150=0$$

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu ezkerraldea taldekatzearen bidez. Lehenik, -x^{2}+ax+bx-150 gisa idatzi behar da ezkerraldea. a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=25 ab=-\left(-150\right)=150$$

ab positiboa denez, a eta b balioek zeinu bera dute. a+b positiboa denez, a eta b positiboak dira. Zerrendatu 150 biderkadura duten osokoen pare guztiak.

$$1,150 2,75 3,50 5,30 6,25 10,15$$

Kalkulatu pare bakoitzaren batura.

$$1+150=151 2+75=77 3+50=53 5+30=35 6+25=31 10+15=25$$

25 batura duen parea da soluzioa.

$$a=15 b=10$$

Berridatzi -x^{2}+25x-150 honela: \left(-x^{2}+15x\right)+\left(10x-150\right).

$$\left(-x^{2}+15x\right)+\left(10x-150\right)$$

Deskonposatu -x lehen taldean, eta 10 bigarren taldean.

$$-x\left(x-15\right)+10\left(x-15\right)$$

Deskonposatu x-15 gai arrunta banaketa-propietatea erabiliz.

$$\left(x-15\right)\left(-x+10\right)$$

Ekuazioaren soluzioak aurkitzeko, ebatzi x-15=0 eta -x+10=0.

$$x=15 x=10$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$-2x^{2}+50x-300=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu -2 balioa a balioarekin, 50 balioa b balioarekin, eta -300 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-50±\sqrt{50^{2}-4\left(-2\right)\left(-300\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Egin 50 ber bi.

$$x=\frac{-50±\sqrt{2500-4\left(-2\right)\left(-300\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Egin -4 bider -2.

$$x=\frac{-50±\sqrt{2500+8\left(-300\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Egin 8 bider -300.

$$x=\frac{-50±\sqrt{2500-2400}}{2\left(-2\right)}$$

Gehitu 2500 eta -2400.

$$x=\frac{-50±\sqrt{100}}{2\left(-2\right)}$$

Atera 100 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-50±10}{2\left(-2\right)}$$

Egin 2 bider -2.

$$x=\frac{-50±10}{-4}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-50±10}{-4} ekuazioa ± plus denean. Gehitu -50 eta 10.

$$x=-\frac{40}{-4}$$

Zatitu -40 balioa -4 balioarekin.

$$x=10$$

Orain, ebatzi x=\frac{-50±10}{-4} ekuazioa ± minus denean. Egin 10 ken -50.

$$x=-\frac{60}{-4}$$

Zatitu -60 balioa -4 balioarekin.

$$x=15$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=10 x=15$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$-2x^{2}+50x-300=0$$

Gehitu 300 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-2x^{2}+50x-300-\left(-300\right)=-\left(-300\right)$$

-300 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$-2x^{2}+50x=-\left(-300\right)$$

Egin -300 ken 0.

$$-2x^{2}+50x=300$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -2 balioarekin.

$$\frac{-2x^{2}+50x}{-2}=\frac{300}{-2}$$

-2 balioarekin zatituz gero, -2 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\frac{50}{-2}x=\frac{300}{-2}$$

Zatitu 50 balioa -2 balioarekin.

$$x^{2}-25x=\frac{300}{-2}$$

Zatitu 300 balioa -2 balioarekin.

$$x^{2}-25x=-150$$

Zatitu -25 (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{25}{2} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{25}{2} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}-25x+\left(-\frac{25}{2}\right)^{2}=-150+\left(-\frac{25}{2}\right)^{2}$$

Egin -\frac{25}{2} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}-25x+\frac{625}{4}=-150+\frac{625}{4}$$

Gehitu -150 eta \frac{625}{4}.

$$x^{2}-25x+\frac{625}{4}=\frac{25}{4}$$

Atera x^{2}-25x+\frac{625}{4} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x-\frac{25}{2}\right)^{2}=\frac{25}{4}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x-\frac{25}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{4}}$$

Sinplifikatu.

$$x-\frac{25}{2}=\frac{5}{2} x-\frac{25}{2}=-\frac{5}{2}$$

Gehitu \frac{25}{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=15 x=10$$