Resolver 5x^2-5x-17=0

$$5 x ^ { 2 } - 5 x - 17 = 0$$

Ebatzi: x

$$x=\frac{\sqrt{365}}{10}+\frac{1}{2}\approx 2.410497317$$

$$x=-\frac{\sqrt{365}}{10}+\frac{1}{2}\approx -1.410497317$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$5x^{2}-5x-17=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 5 balioa a balioarekin, -5 balioa b balioarekin, eta -17 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 5\left(-17\right)}}{2\times 5}$$

Egin -5 ber bi.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 5\left(-17\right)}}{2\times 5}$$

Egin -4 bider 5.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-20\left(-17\right)}}{2\times 5}$$

Egin -20 bider -17.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+340}}{2\times 5}$$

Gehitu 25 eta 340.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{365}}{2\times 5}$$

-5 zenbakiaren aurkakoa 5 da.

$$x=\frac{5±\sqrt{365}}{2\times 5}$$

Egin 2 bider 5.

$$x=\frac{5±\sqrt{365}}{10}$$

Orain, ebatzi x=\frac{5±\sqrt{365}}{10} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 5 eta \sqrt{365}.

$$x=\frac{\sqrt{365}+5}{10}$$

Zatitu 5+\sqrt{365} balioa 10 balioarekin.

$$x=\frac{\sqrt{365}}{10}+\frac{1}{2}$$

Orain, ebatzi x=\frac{5±\sqrt{365}}{10} ekuazioa ± minus denean. Egin \sqrt{365} ken 5.

$$x=\frac{5-\sqrt{365}}{10}$$

Zatitu 5-\sqrt{365} balioa 10 balioarekin.

$$x=-\frac{\sqrt{365}}{10}+\frac{1}{2}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=\frac{\sqrt{365}}{10}+\frac{1}{2} x=-\frac{\sqrt{365}}{10}+\frac{1}{2}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$5x^{2}-5x-17=0$$

Gehitu 17 ekuazioaren bi aldeetan.

$$5x^{2}-5x-17-\left(-17\right)=-\left(-17\right)$$

-17 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$5x^{2}-5x=-\left(-17\right)$$

Egin -17 ken 0.

$$5x^{2}-5x=17$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 5 balioarekin.

$$\frac{5x^{2}-5x}{5}=\frac{17}{5}$$

5 balioarekin zatituz gero, 5 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\left(-\frac{5}{5}\right)x=\frac{17}{5}$$

Zatitu -5 balioa 5 balioarekin.

$$x^{2}-x=\frac{17}{5}$$

Zatitu -1 (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{1}{2} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{1}{2} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{17}{5}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Egin -\frac{1}{2} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{17}{5}+\frac{1}{4}$$

Gehitu \frac{17}{5} eta \frac{1}{4} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{73}{20}$$

Atera x^{2}-x+\frac{1}{4} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{73}{20}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{73}{20}}$$

Sinplifikatu.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{365}}{10} x-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{365}}{10}$$

Gehitu \frac{1}{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{\sqrt{365}}{10}+\frac{1}{2} x=-\frac{\sqrt{365}}{10}+\frac{1}{2}$$