Resolver 5x^2-4x-1=0

$$5 x ^ { 2 } - 4 x - 1 = 0$$

Ebatzi: x

$$x=-\frac{1}{5}=-0.2$$

$$x=1$$

Faktorizazioa darabilten urratsak, taldekatzearen arabera

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu ezkerraldea taldekatzearen bidez. Lehenik, 5x^{2}+ax+bx-1 gisa idatzi behar da ezkerraldea. a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=-4 ab=5\left(-1\right)=-5$$

ab negatiboa denez, a eta b balioek kontrako zeinuak dituzte. a+b negatiboa denez, zenbaki negatiboak positiboak baino balio absolutu handiagoa du. Halako pare bakarra sistemaren soluzioa da.

$$a=-5 b=1$$

Berridatzi 5x^{2}-4x-1 honela: \left(5x^{2}-5x\right)+\left(x-1\right).

$$\left(5x^{2}-5x\right)+\left(x-1\right)$$

Deskonposatu 5x 5x^{2}-5x taldean.

$$5x\left(x-1\right)+x-1$$

Deskonposatu x-1 gai arrunta banaketa-propietatea erabiliz.

$$\left(x-1\right)\left(5x+1\right)$$

Ekuazioaren soluzioak aurkitzeko, ebatzi x-1=0 eta 5x+1=0.

$$x=1 x=-\frac{1}{5}$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$5x^{2}-4x-1=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 5 balioa a balioarekin, -4 balioa b balioarekin, eta -1 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 5\left(-1\right)}}{2\times 5}$$

Egin -4 ber bi.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 5\left(-1\right)}}{2\times 5}$$

Egin -4 bider 5.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-20\left(-1\right)}}{2\times 5}$$

Egin -20 bider -1.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+20}}{2\times 5}$$

Gehitu 16 eta 20.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{36}}{2\times 5}$$

Atera 36 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±6}{2\times 5}$$

-4 zenbakiaren aurkakoa 4 da.

$$x=\frac{4±6}{2\times 5}$$

Egin 2 bider 5.

$$x=\frac{4±6}{10}$$

Orain, ebatzi x=\frac{4±6}{10} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 4 eta 6.

$$x=\frac{10}{10}$$

Zatitu 10 balioa 10 balioarekin.

$$x=1$$

Orain, ebatzi x=\frac{4±6}{10} ekuazioa ± minus denean. Egin 6 ken 4.

$$x=-\frac{2}{10}$$

Murriztu \frac{-2}{10} zatikia gai txikienera, 2 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x=-\frac{1}{5}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=1 x=-\frac{1}{5}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$5x^{2}-4x-1=0$$

Gehitu 1 ekuazioaren bi aldeetan.

$$5x^{2}-4x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

-1 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$5x^{2}-4x=-\left(-1\right)$$

Egin -1 ken 0.

$$5x^{2}-4x=1$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 5 balioarekin.

$$\frac{5x^{2}-4x}{5}=\frac{1}{5}$$

5 balioarekin zatituz gero, 5 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}-\frac{4}{5}x=\frac{1}{5}$$

Zatitu -\frac{4}{5} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{2}{5} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{2}{5} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}-\frac{4}{5}x+\left(-\frac{2}{5}\right)^{2}=\frac{1}{5}+\left(-\frac{2}{5}\right)^{2}$$

Egin -\frac{2}{5} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}-\frac{4}{5}x+\frac{4}{25}=\frac{1}{5}+\frac{4}{25}$$

Gehitu \frac{1}{5} eta \frac{4}{25} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x^{2}-\frac{4}{5}x+\frac{4}{25}=\frac{9}{25}$$

Atera x^{2}-\frac{4}{5}x+\frac{4}{25} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x-\frac{2}{5}\right)^{2}=\frac{9}{25}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x-\frac{2}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{25}}$$

Sinplifikatu.

$$x-\frac{2}{5}=\frac{3}{5} x-\frac{2}{5}=-\frac{3}{5}$$

Gehitu \frac{2}{5} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=1 x=-\frac{1}{5}$$