Resolver 5x^2-2x-16=0

$$5 x ^ { 2 } - 2 x - 16 = 0$$

Ebatzi: x

$$x = -\frac{8}{5} = -1\frac{3}{5} = -1.6$$

$$x=2$$

Faktorizazioa darabilten urratsak, taldekatzearen arabera

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu ezkerraldea taldekatzearen bidez. Lehenik, 5x^{2}+ax+bx-16 gisa idatzi behar da ezkerraldea. a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=-2 ab=5\left(-16\right)=-80$$

ab negatiboa denez, a eta b balioek kontrako zeinuak dituzte. a+b negatiboa denez, zenbaki negatiboak positiboak baino balio absolutu handiagoa du. Zerrendatu -80 biderkadura duten osokoen pare guztiak.

$$1,-80 2,-40 4,-20 5,-16 8,-10$$

Kalkulatu pare bakoitzaren batura.

$$1-80=-79 2-40=-38 4-20=-16 5-16=-11 8-10=-2$$

-2 batura duen parea da soluzioa.

$$a=-10 b=8$$

Berridatzi 5x^{2}-2x-16 honela: \left(5x^{2}-10x\right)+\left(8x-16\right).

$$\left(5x^{2}-10x\right)+\left(8x-16\right)$$

Deskonposatu 5x lehen taldean, eta 8 bigarren taldean.

$$5x\left(x-2\right)+8\left(x-2\right)$$

Deskonposatu x-2 gai arrunta banaketa-propietatea erabiliz.

$$\left(x-2\right)\left(5x+8\right)$$

Ekuazioaren soluzioak aurkitzeko, ebatzi x-2=0 eta 5x+8=0.

$$x=2 x=-\frac{8}{5}$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$5x^{2}-2x-16=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 5 balioa a balioarekin, -2 balioa b balioarekin, eta -16 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 5\left(-16\right)}}{2\times 5}$$

Egin -2 ber bi.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 5\left(-16\right)}}{2\times 5}$$

Egin -4 bider 5.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-20\left(-16\right)}}{2\times 5}$$

Egin -20 bider -16.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+320}}{2\times 5}$$

Gehitu 4 eta 320.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{324}}{2\times 5}$$

Atera 324 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±18}{2\times 5}$$

-2 zenbakiaren aurkakoa 2 da.

$$x=\frac{2±18}{2\times 5}$$

Egin 2 bider 5.

$$x=\frac{2±18}{10}$$

Orain, ebatzi x=\frac{2±18}{10} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 2 eta 18.

$$x=\frac{20}{10}$$

Zatitu 20 balioa 10 balioarekin.

$$x=2$$

Orain, ebatzi x=\frac{2±18}{10} ekuazioa ± minus denean. Egin 18 ken 2.

$$x=-\frac{16}{10}$$

Murriztu \frac{-16}{10} zatikia gai txikienera, 2 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x=-\frac{8}{5}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=2 x=-\frac{8}{5}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$5x^{2}-2x-16=0$$

Gehitu 16 ekuazioaren bi aldeetan.

$$5x^{2}-2x-16-\left(-16\right)=-\left(-16\right)$$

-16 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$5x^{2}-2x=-\left(-16\right)$$

Egin -16 ken 0.

$$5x^{2}-2x=16$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 5 balioarekin.

$$\frac{5x^{2}-2x}{5}=\frac{16}{5}$$

5 balioarekin zatituz gero, 5 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x=\frac{16}{5}$$

Zatitu -\frac{2}{5} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{1}{5} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{1}{5} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x+\left(-\frac{1}{5}\right)^{2}=\frac{16}{5}+\left(-\frac{1}{5}\right)^{2}$$

Egin -\frac{1}{5} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x+\frac{1}{25}=\frac{16}{5}+\frac{1}{25}$$

Gehitu \frac{16}{5} eta \frac{1}{25} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x+\frac{1}{25}=\frac{81}{25}$$

Atera x^{2}-\frac{2}{5}x+\frac{1}{25} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x-\frac{1}{5}\right)^{2}=\frac{81}{25}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{25}}$$

Sinplifikatu.

$$x-\frac{1}{5}=\frac{9}{5} x-\frac{1}{5}=-\frac{9}{5}$$

Gehitu \frac{1}{5} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=2 x=-\frac{8}{5}$$