Resolver 5t^2-9t+15=0

$$5 t ^ { 2 } - 9 t + 15 = 0$$

Ebatzi: t

$$t=\frac{9+\sqrt{219}i}{10}\approx 0.9+1.479864859i$$

$$t=\frac{-\sqrt{219}i+9}{10}\approx 0.9-1.479864859i$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$5t^{2}-9t+15=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 5 balioa a balioarekin, -9 balioa b balioarekin, eta 15 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$t=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\times 5\times 15}}{2\times 5}$$

Egin -9 ber bi.

$$t=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-4\times 5\times 15}}{2\times 5}$$

Egin -4 bider 5.

$$t=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-20\times 15}}{2\times 5}$$

Egin -20 bider 15.

$$t=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-300}}{2\times 5}$$

Gehitu 81 eta -300.

$$t=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{-219}}{2\times 5}$$

Atera -219 balioaren erro karratua.

$$t=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{219}i}{2\times 5}$$

-9 zenbakiaren aurkakoa 9 da.

$$t=\frac{9±\sqrt{219}i}{2\times 5}$$

Egin 2 bider 5.

$$t=\frac{9±\sqrt{219}i}{10}$$

Orain, ebatzi t=\frac{9±\sqrt{219}i}{10} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 9 eta i\sqrt{219}.

$$t=\frac{9+\sqrt{219}i}{10}$$

Orain, ebatzi t=\frac{9±\sqrt{219}i}{10} ekuazioa ± minus denean. Egin i\sqrt{219} ken 9.

$$t=\frac{-\sqrt{219}i+9}{10}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$t=\frac{9+\sqrt{219}i}{10} t=\frac{-\sqrt{219}i+9}{10}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$5t^{2}-9t+15=0$$

Egin ken 15 ekuazioaren bi aldeetan.

$$5t^{2}-9t+15-15=-15$$

15 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$5t^{2}-9t=-15$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 5 balioarekin.

$$\frac{5t^{2}-9t}{5}=-\frac{15}{5}$$

5 balioarekin zatituz gero, 5 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$t^{2}-\frac{9}{5}t=-\frac{15}{5}$$

Zatitu -15 balioa 5 balioarekin.

$$t^{2}-\frac{9}{5}t=-3$$

Zatitu -\frac{9}{5} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{9}{10} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{9}{10} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$t^{2}-\frac{9}{5}t+\left(-\frac{9}{10}\right)^{2}=-3+\left(-\frac{9}{10}\right)^{2}$$

Egin -\frac{9}{10} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$t^{2}-\frac{9}{5}t+\frac{81}{100}=-3+\frac{81}{100}$$

Gehitu -3 eta \frac{81}{100}.

$$t^{2}-\frac{9}{5}t+\frac{81}{100}=-\frac{219}{100}$$

Atera t^{2}-\frac{9}{5}t+\frac{81}{100} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(t-\frac{9}{10}\right)^{2}=-\frac{219}{100}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(t-\frac{9}{10}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{219}{100}}$$

Sinplifikatu.

$$t-\frac{9}{10}=\frac{\sqrt{219}i}{10} t-\frac{9}{10}=-\frac{\sqrt{219}i}{10}$$

Gehitu \frac{9}{10} ekuazioaren bi aldeetan.

$$t=\frac{9+\sqrt{219}i}{10} t=\frac{-\sqrt{219}i+9}{10}$$