Resolver 5t^2-72t-108=0

$$5 t ^ { 2 } - 72 t - 108 = 0$$

Ebatzi: t

$$t = \frac{6 \sqrt{51} + 36}{5} \approx 15.769714114$$

$$t=\frac{36-6\sqrt{51}}{5}\approx -1.369714114$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$5t^{2}-72t-108=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 5 balioa a balioarekin, -72 balioa b balioarekin, eta -108 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$t=\frac{-\left(-72\right)±\sqrt{\left(-72\right)^{2}-4\times 5\left(-108\right)}}{2\times 5}$$

Egin -72 ber bi.

$$t=\frac{-\left(-72\right)±\sqrt{5184-4\times 5\left(-108\right)}}{2\times 5}$$

Egin -4 bider 5.

$$t=\frac{-\left(-72\right)±\sqrt{5184-20\left(-108\right)}}{2\times 5}$$

Egin -20 bider -108.

$$t=\frac{-\left(-72\right)±\sqrt{5184+2160}}{2\times 5}$$

Gehitu 5184 eta 2160.

$$t=\frac{-\left(-72\right)±\sqrt{7344}}{2\times 5}$$

Atera 7344 balioaren erro karratua.

$$t=\frac{-\left(-72\right)±12\sqrt{51}}{2\times 5}$$

-72 zenbakiaren aurkakoa 72 da.

$$t=\frac{72±12\sqrt{51}}{2\times 5}$$

Egin 2 bider 5.

$$t=\frac{72±12\sqrt{51}}{10}$$

Orain, ebatzi t=\frac{72±12\sqrt{51}}{10} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 72 eta 12\sqrt{51}.

$$t=\frac{12\sqrt{51}+72}{10}$$

Zatitu 72+12\sqrt{51} balioa 10 balioarekin.

$$t=\frac{6\sqrt{51}+36}{5}$$

Orain, ebatzi t=\frac{72±12\sqrt{51}}{10} ekuazioa ± minus denean. Egin 12\sqrt{51} ken 72.

$$t=\frac{72-12\sqrt{51}}{10}$$

Zatitu 72-12\sqrt{51} balioa 10 balioarekin.

$$t=\frac{36-6\sqrt{51}}{5}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$t=\frac{6\sqrt{51}+36}{5} t=\frac{36-6\sqrt{51}}{5}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$5t^{2}-72t-108=0$$

Gehitu 108 ekuazioaren bi aldeetan.

$$5t^{2}-72t-108-\left(-108\right)=-\left(-108\right)$$

-108 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$5t^{2}-72t=-\left(-108\right)$$

Egin -108 ken 0.

$$5t^{2}-72t=108$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 5 balioarekin.

$$\frac{5t^{2}-72t}{5}=\frac{108}{5}$$

5 balioarekin zatituz gero, 5 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$t^{2}-\frac{72}{5}t=\frac{108}{5}$$

Zatitu -\frac{72}{5} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{36}{5} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{36}{5} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$t^{2}-\frac{72}{5}t+\left(-\frac{36}{5}\right)^{2}=\frac{108}{5}+\left(-\frac{36}{5}\right)^{2}$$

Egin -\frac{36}{5} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$t^{2}-\frac{72}{5}t+\frac{1296}{25}=\frac{108}{5}+\frac{1296}{25}$$

Gehitu \frac{108}{5} eta \frac{1296}{25} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$t^{2}-\frac{72}{5}t+\frac{1296}{25}=\frac{1836}{25}$$

Atera t^{2}-\frac{72}{5}t+\frac{1296}{25} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(t-\frac{36}{5}\right)^{2}=\frac{1836}{25}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(t-\frac{36}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1836}{25}}$$

Sinplifikatu.

$$t-\frac{36}{5}=\frac{6\sqrt{51}}{5} t-\frac{36}{5}=-\frac{6\sqrt{51}}{5}$$

Gehitu \frac{36}{5} ekuazioaren bi aldeetan.

$$t=\frac{6\sqrt{51}+36}{5} t=\frac{36-6\sqrt{51}}{5}$$