Resolver 420=-16t^2+180t

$$420 = - 16 t ^ { 2 } + 180 t$$

Ebatzi: t

$$t = \frac{\sqrt{345} + 45}{8} \approx 7.946771953$$

$$t = \frac{45 - \sqrt{345}}{8} \approx 3.303228047$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Trukatu aldeak, aldagaiak ezkerraldean egon daitezen.

$$-16t^{2}+180t=420$$

Kendu 420 bi aldeetatik.

$$-16t^{2}+180t-420=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu -16 balioa a balioarekin, 180 balioa b balioarekin, eta -420 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$t=\frac{-180±\sqrt{180^{2}-4\left(-16\right)\left(-420\right)}}{2\left(-16\right)}$$

Egin 180 ber bi.

$$t=\frac{-180±\sqrt{32400-4\left(-16\right)\left(-420\right)}}{2\left(-16\right)}$$

Egin -4 bider -16.

$$t=\frac{-180±\sqrt{32400+64\left(-420\right)}}{2\left(-16\right)}$$

Egin 64 bider -420.

$$t=\frac{-180±\sqrt{32400-26880}}{2\left(-16\right)}$$

Gehitu 32400 eta -26880.

$$t=\frac{-180±\sqrt{5520}}{2\left(-16\right)}$$

Atera 5520 balioaren erro karratua.

$$t=\frac{-180±4\sqrt{345}}{2\left(-16\right)}$$

Egin 2 bider -16.

$$t=\frac{-180±4\sqrt{345}}{-32}$$

Orain, ebatzi t=\frac{-180±4\sqrt{345}}{-32} ekuazioa ± plus denean. Gehitu -180 eta 4\sqrt{345}.

$$t=\frac{4\sqrt{345}-180}{-32}$$

Zatitu -180+4\sqrt{345} balioa -32 balioarekin.

$$t=\frac{45-\sqrt{345}}{8}$$

Orain, ebatzi t=\frac{-180±4\sqrt{345}}{-32} ekuazioa ± minus denean. Egin 4\sqrt{345} ken -180.

$$t=\frac{-4\sqrt{345}-180}{-32}$$

Zatitu -180-4\sqrt{345} balioa -32 balioarekin.

$$t=\frac{\sqrt{345}+45}{8}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$t=\frac{45-\sqrt{345}}{8} t=\frac{\sqrt{345}+45}{8}$$

Karratua osatzeko urratsak

Trukatu aldeak, aldagaiak ezkerraldean egon daitezen.

$$-16t^{2}+180t=420$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -16 balioarekin.

$$\frac{-16t^{2}+180t}{-16}=\frac{420}{-16}$$

-16 balioarekin zatituz gero, -16 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$t^{2}+\frac{180}{-16}t=\frac{420}{-16}$$

Murriztu \frac{180}{-16} zatikia gai txikienera, 4 bakanduta eta ezeztatuta.

$$t^{2}-\frac{45}{4}t=\frac{420}{-16}$$

Murriztu \frac{420}{-16} zatikia gai txikienera, 4 bakanduta eta ezeztatuta.

$$t^{2}-\frac{45}{4}t=-\frac{105}{4}$$

Zatitu -\frac{45}{4} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{45}{8} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{45}{8} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$t^{2}-\frac{45}{4}t+\left(-\frac{45}{8}\right)^{2}=-\frac{105}{4}+\left(-\frac{45}{8}\right)^{2}$$

Egin -\frac{45}{8} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$t^{2}-\frac{45}{4}t+\frac{2025}{64}=-\frac{105}{4}+\frac{2025}{64}$$

Gehitu -\frac{105}{4} eta \frac{2025}{64} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$t^{2}-\frac{45}{4}t+\frac{2025}{64}=\frac{345}{64}$$

Atera t^{2}-\frac{45}{4}t+\frac{2025}{64} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(t-\frac{45}{8}\right)^{2}=\frac{345}{64}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(t-\frac{45}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{345}{64}}$$

Sinplifikatu.

$$t-\frac{45}{8}=\frac{\sqrt{345}}{8} t-\frac{45}{8}=-\frac{\sqrt{345}}{8}$$

Gehitu \frac{45}{8} ekuazioaren bi aldeetan.

$$t=\frac{\sqrt{345}+45}{8} t=\frac{45-\sqrt{345}}{8}$$