Resolver 40x+2x(30-2x)=200

$$40x+2x(30-2x)=200$$

Ebatzi: x

$$x = \frac{5 \sqrt{17} + 25}{2} \approx 22.807764064$$

$$x = \frac{25 - 5 \sqrt{17}}{2} \approx 2.192235936$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Erabili banaketa-propietatea 2x eta 30-2x biderkatzeko.

$$40x+60x-4x^{2}=200$$

100x lortzeko, konbinatu 40x eta 60x.

$$100x-4x^{2}=200$$

Kendu 200 bi aldeetatik.

$$100x-4x^{2}-200=0$$

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$-4x^{2}+100x-200=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu -4 balioa a balioarekin, 100 balioa b balioarekin, eta -200 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-100±\sqrt{100^{2}-4\left(-4\right)\left(-200\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Egin 100 ber bi.

$$x=\frac{-100±\sqrt{10000-4\left(-4\right)\left(-200\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Egin -4 bider -4.

$$x=\frac{-100±\sqrt{10000+16\left(-200\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Egin 16 bider -200.

$$x=\frac{-100±\sqrt{10000-3200}}{2\left(-4\right)}$$

Gehitu 10000 eta -3200.

$$x=\frac{-100±\sqrt{6800}}{2\left(-4\right)}$$

Atera 6800 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-100±20\sqrt{17}}{2\left(-4\right)}$$

Egin 2 bider -4.

$$x=\frac{-100±20\sqrt{17}}{-8}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-100±20\sqrt{17}}{-8} ekuazioa ± plus denean. Gehitu -100 eta 20\sqrt{17}.

$$x=\frac{20\sqrt{17}-100}{-8}$$

Zatitu -100+20\sqrt{17} balioa -8 balioarekin.

$$x=\frac{25-5\sqrt{17}}{2}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-100±20\sqrt{17}}{-8} ekuazioa ± minus denean. Egin 20\sqrt{17} ken -100.

$$x=\frac{-20\sqrt{17}-100}{-8}$$

Zatitu -100-20\sqrt{17} balioa -8 balioarekin.

$$x=\frac{5\sqrt{17}+25}{2}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=\frac{25-5\sqrt{17}}{2} x=\frac{5\sqrt{17}+25}{2}$$

Karratua osatzeko urratsak

Erabili banaketa-propietatea 2x eta 30-2x biderkatzeko.

$$40x+60x-4x^{2}=200$$

100x lortzeko, konbinatu 40x eta 60x.

$$100x-4x^{2}=200$$

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$-4x^{2}+100x=200$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -4 balioarekin.

$$\frac{-4x^{2}+100x}{-4}=\frac{200}{-4}$$

-4 balioarekin zatituz gero, -4 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\frac{100}{-4}x=\frac{200}{-4}$$

Zatitu 100 balioa -4 balioarekin.

$$x^{2}-25x=\frac{200}{-4}$$

Zatitu 200 balioa -4 balioarekin.

$$x^{2}-25x=-50$$

Zatitu -25 (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{25}{2} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{25}{2} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}-25x+\left(-\frac{25}{2}\right)^{2}=-50+\left(-\frac{25}{2}\right)^{2}$$

Egin -\frac{25}{2} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}-25x+\frac{625}{4}=-50+\frac{625}{4}$$

Gehitu -50 eta \frac{625}{4}.

$$x^{2}-25x+\frac{625}{4}=\frac{425}{4}$$

Atera x^{2}-25x+\frac{625}{4} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x-\frac{25}{2}\right)^{2}=\frac{425}{4}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x-\frac{25}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{425}{4}}$$

Sinplifikatu.

$$x-\frac{25}{2}=\frac{5\sqrt{17}}{2} x-\frac{25}{2}=-\frac{5\sqrt{17}}{2}$$

Gehitu \frac{25}{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{5\sqrt{17}+25}{2} x=\frac{25-5\sqrt{17}}{2}$$