Resolver 40x^2-14x+1=0

$$40 { x }^{ 2 } -14x+1=0$$

Ebatzi: x

$$x=\frac{1}{10}=0.1$$

$$x=\frac{1}{4}=0.25$$

Faktorizazioa darabilten urratsak, taldekatzearen arabera

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu ezkerraldea taldekatzearen bidez. Lehenik, 40x^{2}+ax+bx+1 gisa idatzi behar da ezkerraldea. a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=-14 ab=40\times 1=40$$

ab positiboa denez, a eta b balioek zeinu bera dute. a+b negatiboa denez, a eta b negatiboak dira. Zerrendatu 40 biderkadura duten osokoen pare guztiak.

$$-1,-40 -2,-20 -4,-10 -5,-8$$

Kalkulatu pare bakoitzaren batura.

$$-1-40=-41 -2-20=-22 -4-10=-14 -5-8=-13$$

-14 batura duen parea da soluzioa.

$$a=-10 b=-4$$

Berridatzi 40x^{2}-14x+1 honela: \left(40x^{2}-10x\right)+\left(-4x+1\right).

$$\left(40x^{2}-10x\right)+\left(-4x+1\right)$$

Deskonposatu 10x lehen taldean, eta -1 bigarren taldean.

$$10x\left(4x-1\right)-\left(4x-1\right)$$

Deskonposatu 4x-1 gai arrunta banaketa-propietatea erabiliz.

$$\left(4x-1\right)\left(10x-1\right)$$

Ekuazioaren soluzioak aurkitzeko, ebatzi 4x-1=0 eta 10x-1=0.

$$x=\frac{1}{4} x=\frac{1}{10}$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$40x^{2}-14x+1=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 40 balioa a balioarekin, -14 balioa b balioarekin, eta 1 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 40}}{2\times 40}$$

Egin -14 ber bi.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 40}}{2\times 40}$$

Egin -4 bider 40.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-160}}{2\times 40}$$

Gehitu 196 eta -160.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{36}}{2\times 40}$$

Atera 36 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±6}{2\times 40}$$

-14 zenbakiaren aurkakoa 14 da.

$$x=\frac{14±6}{2\times 40}$$

Egin 2 bider 40.

$$x=\frac{14±6}{80}$$

Orain, ebatzi x=\frac{14±6}{80} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 14 eta 6.

$$x=\frac{20}{80}$$

Murriztu \frac{20}{80} zatikia gai txikienera, 20 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x=\frac{1}{4}$$

Orain, ebatzi x=\frac{14±6}{80} ekuazioa ± minus denean. Egin 6 ken 14.

$$x=\frac{8}{80}$$

Murriztu \frac{8}{80} zatikia gai txikienera, 8 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x=\frac{1}{10}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=\frac{1}{4} x=\frac{1}{10}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$40x^{2}-14x+1=0$$

Egin ken 1 ekuazioaren bi aldeetan.

$$40x^{2}-14x+1-1=-1$$

1 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$40x^{2}-14x=-1$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 40 balioarekin.

$$\frac{40x^{2}-14x}{40}=-\frac{1}{40}$$

40 balioarekin zatituz gero, 40 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\left(-\frac{14}{40}\right)x=-\frac{1}{40}$$

Murriztu \frac{-14}{40} zatikia gai txikienera, 2 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x^{2}-\frac{7}{20}x=-\frac{1}{40}$$

Zatitu -\frac{7}{20} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{7}{40} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{7}{40} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}-\frac{7}{20}x+\left(-\frac{7}{40}\right)^{2}=-\frac{1}{40}+\left(-\frac{7}{40}\right)^{2}$$

Egin -\frac{7}{40} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}-\frac{7}{20}x+\frac{49}{1600}=-\frac{1}{40}+\frac{49}{1600}$$

Gehitu -\frac{1}{40} eta \frac{49}{1600} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x^{2}-\frac{7}{20}x+\frac{49}{1600}=\frac{9}{1600}$$

Atera x^{2}-\frac{7}{20}x+\frac{49}{1600} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x-\frac{7}{40}\right)^{2}=\frac{9}{1600}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{40}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{1600}}$$

Sinplifikatu.

$$x-\frac{7}{40}=\frac{3}{40} x-\frac{7}{40}=-\frac{3}{40}$$

Gehitu \frac{7}{40} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{1}{4} x=\frac{1}{10}$$