Resolver 4x^2-75x+50=0

$$4 x ^ { 2 } - 75 x + 50 = 0$$

Ebatzi: x

$$x = \frac{5 \sqrt{193} + 75}{8} \approx 18.057777493$$

$$x=\frac{75-5\sqrt{193}}{8}\approx 0.692222507$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$4x^{2}-75x+50=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 4 balioa a balioarekin, -75 balioa b balioarekin, eta 50 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-\left(-75\right)±\sqrt{\left(-75\right)^{2}-4\times 4\times 50}}{2\times 4}$$

Egin -75 ber bi.

$$x=\frac{-\left(-75\right)±\sqrt{5625-4\times 4\times 50}}{2\times 4}$$

Egin -4 bider 4.

$$x=\frac{-\left(-75\right)±\sqrt{5625-16\times 50}}{2\times 4}$$

Egin -16 bider 50.

$$x=\frac{-\left(-75\right)±\sqrt{5625-800}}{2\times 4}$$

Gehitu 5625 eta -800.

$$x=\frac{-\left(-75\right)±\sqrt{4825}}{2\times 4}$$

Atera 4825 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-\left(-75\right)±5\sqrt{193}}{2\times 4}$$

-75 zenbakiaren aurkakoa 75 da.

$$x=\frac{75±5\sqrt{193}}{2\times 4}$$

Egin 2 bider 4.

$$x=\frac{75±5\sqrt{193}}{8}$$

Orain, ebatzi x=\frac{75±5\sqrt{193}}{8} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 75 eta 5\sqrt{193}.

$$x=\frac{5\sqrt{193}+75}{8}$$

Orain, ebatzi x=\frac{75±5\sqrt{193}}{8} ekuazioa ± minus denean. Egin 5\sqrt{193} ken 75.

$$x=\frac{75-5\sqrt{193}}{8}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=\frac{5\sqrt{193}+75}{8} x=\frac{75-5\sqrt{193}}{8}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$4x^{2}-75x+50=0$$

Egin ken 50 ekuazioaren bi aldeetan.

$$4x^{2}-75x+50-50=-50$$

50 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$4x^{2}-75x=-50$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$\frac{4x^{2}-75x}{4}=-\frac{50}{4}$$

4 balioarekin zatituz gero, 4 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}-\frac{75}{4}x=-\frac{50}{4}$$

Murriztu \frac{-50}{4} zatikia gai txikienera, 2 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x^{2}-\frac{75}{4}x=-\frac{25}{2}$$

Zatitu -\frac{75}{4} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{75}{8} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{75}{8} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}-\frac{75}{4}x+\left(-\frac{75}{8}\right)^{2}=-\frac{25}{2}+\left(-\frac{75}{8}\right)^{2}$$

Egin -\frac{75}{8} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}-\frac{75}{4}x+\frac{5625}{64}=-\frac{25}{2}+\frac{5625}{64}$$

Gehitu -\frac{25}{2} eta \frac{5625}{64} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x^{2}-\frac{75}{4}x+\frac{5625}{64}=\frac{4825}{64}$$

Atera x^{2}-\frac{75}{4}x+\frac{5625}{64} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x-\frac{75}{8}\right)^{2}=\frac{4825}{64}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x-\frac{75}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{4825}{64}}$$

Sinplifikatu.

$$x-\frac{75}{8}=\frac{5\sqrt{193}}{8} x-\frac{75}{8}=-\frac{5\sqrt{193}}{8}$$

Gehitu \frac{75}{8} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{5\sqrt{193}+75}{8} x=\frac{75-5\sqrt{193}}{8}$$