Resolver 4x^2-5x-1=0

$$4 x ^ { 2 } - 5 x - 1 = 0$$

Ebatzi: x

$$x = \frac{\sqrt{41} + 5}{8} \approx 1.42539053$$

$$x=\frac{5-\sqrt{41}}{8}\approx -0.17539053$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$4x^{2}-5x-1=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 4 balioa a balioarekin, -5 balioa b balioarekin, eta -1 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 4\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

Egin -5 ber bi.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 4\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

Egin -4 bider 4.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-16\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

Egin -16 bider -1.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+16}}{2\times 4}$$

Gehitu 25 eta 16.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{41}}{2\times 4}$$

-5 zenbakiaren aurkakoa 5 da.

$$x=\frac{5±\sqrt{41}}{2\times 4}$$

Egin 2 bider 4.

$$x=\frac{5±\sqrt{41}}{8}$$

Orain, ebatzi x=\frac{5±\sqrt{41}}{8} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 5 eta \sqrt{41}.

$$x=\frac{\sqrt{41}+5}{8}$$

Orain, ebatzi x=\frac{5±\sqrt{41}}{8} ekuazioa ± minus denean. Egin \sqrt{41} ken 5.

$$x=\frac{5-\sqrt{41}}{8}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=\frac{\sqrt{41}+5}{8} x=\frac{5-\sqrt{41}}{8}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$4x^{2}-5x-1=0$$

Gehitu 1 ekuazioaren bi aldeetan.

$$4x^{2}-5x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

-1 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$4x^{2}-5x=-\left(-1\right)$$

Egin -1 ken 0.

$$4x^{2}-5x=1$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$\frac{4x^{2}-5x}{4}=\frac{1}{4}$$

4 balioarekin zatituz gero, 4 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x=\frac{1}{4}$$

Zatitu -\frac{5}{4} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{5}{8} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{5}{8} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x+\left(-\frac{5}{8}\right)^{2}=\frac{1}{4}+\left(-\frac{5}{8}\right)^{2}$$

Egin -\frac{5}{8} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}=\frac{1}{4}+\frac{25}{64}$$

Gehitu \frac{1}{4} eta \frac{25}{64} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}=\frac{41}{64}$$

Atera x^{2}-\frac{5}{4}x+\frac{25}{64} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x-\frac{5}{8}\right)^{2}=\frac{41}{64}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{41}{64}}$$

Sinplifikatu.

$$x-\frac{5}{8}=\frac{\sqrt{41}}{8} x-\frac{5}{8}=-\frac{\sqrt{41}}{8}$$

Gehitu \frac{5}{8} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{\sqrt{41}+5}{8} x=\frac{5-\sqrt{41}}{8}$$