Resolver 4x^2+6x-1>0

$$4 x ^ { 2 } + 6 x - 1 > 0$$

Ebatzi: x

$$x\in \left(-\infty,\frac{-\sqrt{13}-3}{4}\right)\cup \left(\frac{\sqrt{13}-3}{4},\infty\right)$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Desberdintasuna ebazteko, faktorizatu ezkerraldea. Polinomio koadratikoa faktorizatzeko, eraldaketa hau erabil daiteke: ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Bertan, x_{1} eta x_{2} dira ax^{2}+bx+c=0 ekuazio koadratikoaren soluzioak.

$$4x^{2}+6x-1=0$$

ax^{2}+bx+c=0 erako ekuazio guztiak formula koadratiko honen bidez ebatz daitezke: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ordeztu 4 balioa a balioarekin, 6 balioa b balioarekin, eta -1 balioa c balioarekin formula koadratikoan.

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 4\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

Egin kalkuluak.

$$x=\frac{-6±2\sqrt{13}}{8}$$

Ebatzi x=\frac{-6±2\sqrt{13}}{8} ekuazioa ± plus denean eta ± minus denean.

$$x=\frac{\sqrt{13}-3}{4} x=\frac{-\sqrt{13}-3}{4}$$

Berridatzi desberdintasuna lortutako emaitzen arabera.

$$4\left(x-\frac{\sqrt{13}-3}{4}\right)\left(x-\frac{-\sqrt{13}-3}{4}\right)>0$$

Biderkadura positiboa izan dadin, x-\frac{\sqrt{13}-3}{4} eta x-\frac{-\sqrt{13}-3}{4} balioak negatiboak edo positiboak izan behar dira. Hartu kasua kontuan x-\frac{\sqrt{13}-3}{4} eta x-\frac{-\sqrt{13}-3}{4} balioak negatiboak direnean.

$$x-\frac{\sqrt{13}-3}{4}<0 x-\frac{-\sqrt{13}-3}{4}<0$$

Desberdintasun biei egokitzen zaien soluzioa x<\frac{-\sqrt{13}-3}{4} da.

$$x<\frac{-\sqrt{13}-3}{4}$$

Hartu kasua kontuan x-\frac{\sqrt{13}-3}{4} eta x-\frac{-\sqrt{13}-3}{4} balioak positiboak direnean.

$$x-\frac{-\sqrt{13}-3}{4}>0 x-\frac{\sqrt{13}-3}{4}>0$$

Desberdintasun biei egokitzen zaien soluzioa x>\frac{\sqrt{13}-3}{4} da.

$$x>\frac{\sqrt{13}-3}{4}$$

Lortutako soluzioen batasuna da azken soluzioa.

$$x<\frac{-\sqrt{13}-3}{4}\text{; }x>\frac{\sqrt{13}-3}{4}$$