Resolver 4x^2+28x+53=0

$$4 x ^ { 2 } + 28 x + 53 = 0$$

Ebatzi: x (complex solution)

$$x=-\frac{7}{2}+i=-3.5+i$$

$$x=-\frac{7}{2}-i=-3.5-i$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$4x^{2}+28x+53=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 4 balioa a balioarekin, 28 balioa b balioarekin, eta 53 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-28±\sqrt{28^{2}-4\times 4\times 53}}{2\times 4}$$

Egin 28 ber bi.

$$x=\frac{-28±\sqrt{784-4\times 4\times 53}}{2\times 4}$$

Egin -4 bider 4.

$$x=\frac{-28±\sqrt{784-16\times 53}}{2\times 4}$$

Egin -16 bider 53.

$$x=\frac{-28±\sqrt{784-848}}{2\times 4}$$

Gehitu 784 eta -848.

$$x=\frac{-28±\sqrt{-64}}{2\times 4}$$

Atera -64 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-28±8i}{2\times 4}$$

Egin 2 bider 4.

$$x=\frac{-28±8i}{8}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-28±8i}{8} ekuazioa ± plus denean. Gehitu -28 eta 8i.

$$x=\frac{-28+8i}{8}$$

Zatitu -28+8i balioa 8 balioarekin.

$$x=-\frac{7}{2}+i$$

Orain, ebatzi x=\frac{-28±8i}{8} ekuazioa ± minus denean. Egin 8i ken -28.

$$x=\frac{-28-8i}{8}$$

Zatitu -28-8i balioa 8 balioarekin.

$$x=-\frac{7}{2}-i$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=-\frac{7}{2}+i x=-\frac{7}{2}-i$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$4x^{2}+28x+53=0$$

Egin ken 53 ekuazioaren bi aldeetan.

$$4x^{2}+28x+53-53=-53$$

53 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$4x^{2}+28x=-53$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$\frac{4x^{2}+28x}{4}=-\frac{53}{4}$$

4 balioarekin zatituz gero, 4 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\frac{28}{4}x=-\frac{53}{4}$$

Zatitu 28 balioa 4 balioarekin.

$$x^{2}+7x=-\frac{53}{4}$$

Zatitu 7 (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta \frac{7}{2} lortuko duzu. Ondoren, gehitu \frac{7}{2} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}+7x+\left(\frac{7}{2}\right)^{2}=-\frac{53}{4}+\left(\frac{7}{2}\right)^{2}$$

Egin \frac{7}{2} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}+7x+\frac{49}{4}=\frac{-53+49}{4}$$

Gehitu -\frac{53}{4} eta \frac{49}{4} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x^{2}+7x+\frac{49}{4}=-1$$

Atera x^{2}+7x+\frac{49}{4} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x+\frac{7}{2}\right)^{2}=-1$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-1}$$

Sinplifikatu.

$$x+\frac{7}{2}=i x+\frac{7}{2}=-i$$

Egin ken \frac{7}{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=-\frac{7}{2}+i x=-\frac{7}{2}-i$$