Resolver 4x^2+2x+1=21

$$4 x ^ { 2 } + 2 x + 1 = 21$$

Ebatzi: x

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2.5$$

$$x=2$$

Faktorizazioa darabilten urratsak, taldekatzearen arabera

Kendu 21 bi aldeetatik.

$$4x^{2}+2x+1-21=0$$

-20 lortzeko, 1 balioari kendu 21.

$$4x^{2}+2x-20=0$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$2x^{2}+x-10=0$$

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu ezkerraldea taldekatzearen bidez. Lehenik, 2x^{2}+ax+bx-10 gisa idatzi behar da ezkerraldea. a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=1 ab=2\left(-10\right)=-20$$

ab negatiboa denez, a eta b balioek kontrako zeinuak dituzte. a+b positiboa denez, zenbaki positiboak negatiboak baino balio absolutu handiagoa du. Zerrendatu -20 biderkadura duten osokoen pare guztiak.

$$-1,20 -2,10 -4,5$$

Kalkulatu pare bakoitzaren batura.

$$-1+20=19 -2+10=8 -4+5=1$$

1 batura duen parea da soluzioa.

$$a=-4 b=5$$

Berridatzi 2x^{2}+x-10 honela: \left(2x^{2}-4x\right)+\left(5x-10\right).

$$\left(2x^{2}-4x\right)+\left(5x-10\right)$$

Deskonposatu 2x lehen taldean, eta 5 bigarren taldean.

$$2x\left(x-2\right)+5\left(x-2\right)$$

Deskonposatu x-2 gai arrunta banaketa-propietatea erabiliz.

$$\left(x-2\right)\left(2x+5\right)$$

Ekuazioaren soluzioak aurkitzeko, ebatzi x-2=0 eta 2x+5=0.

$$x=2 x=-\frac{5}{2}$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$4x^{2}+2x+1=21$$

Egin ken 21 ekuazioaren bi aldeetan.

$$4x^{2}+2x+1-21=21-21$$

21 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$4x^{2}+2x+1-21=0$$

Egin 21 ken 1.

$$4x^{2}+2x-20=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 4 balioa a balioarekin, 2 balioa b balioarekin, eta -20 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 4\left(-20\right)}}{2\times 4}$$

Egin 2 ber bi.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\times 4\left(-20\right)}}{2\times 4}$$

Egin -4 bider 4.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-16\left(-20\right)}}{2\times 4}$$

Egin -16 bider -20.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+320}}{2\times 4}$$

Gehitu 4 eta 320.

$$x=\frac{-2±\sqrt{324}}{2\times 4}$$

Atera 324 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-2±18}{2\times 4}$$

Egin 2 bider 4.

$$x=\frac{-2±18}{8}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-2±18}{8} ekuazioa ± plus denean. Gehitu -2 eta 18.

$$x=\frac{16}{8}$$

Zatitu 16 balioa 8 balioarekin.

$$x=2$$

Orain, ebatzi x=\frac{-2±18}{8} ekuazioa ± minus denean. Egin 18 ken -2.

$$x=-\frac{20}{8}$$

Murriztu \frac{-20}{8} zatikia gai txikienera, 4 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x=-\frac{5}{2}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=2 x=-\frac{5}{2}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$4x^{2}+2x+1=21$$

Egin ken 1 ekuazioaren bi aldeetan.

$$4x^{2}+2x+1-1=21-1$$

1 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$4x^{2}+2x=21-1$$

Egin 1 ken 21.

$$4x^{2}+2x=20$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$\frac{4x^{2}+2x}{4}=\frac{20}{4}$$

4 balioarekin zatituz gero, 4 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\frac{2}{4}x=\frac{20}{4}$$

Murriztu \frac{2}{4} zatikia gai txikienera, 2 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=\frac{20}{4}$$

Zatitu 20 balioa 4 balioarekin.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=5$$

Zatitu \frac{1}{2} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta \frac{1}{4} lortuko duzu. Ondoren, gehitu \frac{1}{4} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}=5+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Egin \frac{1}{4} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=5+\frac{1}{16}$$

Gehitu 5 eta \frac{1}{16}.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{81}{16}$$

Atera x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{81}{16}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{16}}$$

Sinplifikatu.

$$x+\frac{1}{4}=\frac{9}{4} x+\frac{1}{4}=-\frac{9}{4}$$

Egin ken \frac{1}{4} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=2 x=-\frac{5}{2}$$