Resolver 4x^2-2x-3=0

$$4 { x }^{ 2 } -2x-3 = 0$$

Ebatzi: x

$$x = \frac{\sqrt{13} + 1}{4} \approx 1.151387819$$

$$x=\frac{1-\sqrt{13}}{4}\approx -0.651387819$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$4x^{2}-2x-3=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 4 balioa a balioarekin, -2 balioa b balioarekin, eta -3 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 4\left(-3\right)}}{2\times 4}$$

Egin -2 ber bi.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 4\left(-3\right)}}{2\times 4}$$

Egin -4 bider 4.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-16\left(-3\right)}}{2\times 4}$$

Egin -16 bider -3.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+48}}{2\times 4}$$

Gehitu 4 eta 48.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{52}}{2\times 4}$$

Atera 52 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{13}}{2\times 4}$$

-2 zenbakiaren aurkakoa 2 da.

$$x=\frac{2±2\sqrt{13}}{2\times 4}$$

Egin 2 bider 4.

$$x=\frac{2±2\sqrt{13}}{8}$$

Orain, ebatzi x=\frac{2±2\sqrt{13}}{8} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 2 eta 2\sqrt{13}.

$$x=\frac{2\sqrt{13}+2}{8}$$

Zatitu 2+2\sqrt{13} balioa 8 balioarekin.

$$x=\frac{\sqrt{13}+1}{4}$$

Orain, ebatzi x=\frac{2±2\sqrt{13}}{8} ekuazioa ± minus denean. Egin 2\sqrt{13} ken 2.

$$x=\frac{2-2\sqrt{13}}{8}$$

Zatitu 2-2\sqrt{13} balioa 8 balioarekin.

$$x=\frac{1-\sqrt{13}}{4}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=\frac{\sqrt{13}+1}{4} x=\frac{1-\sqrt{13}}{4}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$4x^{2}-2x-3=0$$

Gehitu 3 ekuazioaren bi aldeetan.

$$4x^{2}-2x-3-\left(-3\right)=-\left(-3\right)$$

-3 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$4x^{2}-2x=-\left(-3\right)$$

Egin -3 ken 0.

$$4x^{2}-2x=3$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$\frac{4x^{2}-2x}{4}=\frac{3}{4}$$

4 balioarekin zatituz gero, 4 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\left(-\frac{2}{4}\right)x=\frac{3}{4}$$

Murriztu \frac{-2}{4} zatikia gai txikienera, 2 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x=\frac{3}{4}$$

Zatitu -\frac{1}{2} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{1}{4} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{1}{4} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{3}{4}+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Egin -\frac{1}{4} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{3}{4}+\frac{1}{16}$$

Gehitu \frac{3}{4} eta \frac{1}{16} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{13}{16}$$

Atera x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{13}{16}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{13}{16}}$$

Sinplifikatu.

$$x-\frac{1}{4}=\frac{\sqrt{13}}{4} x-\frac{1}{4}=-\frac{\sqrt{13}}{4}$$

Gehitu \frac{1}{4} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{\sqrt{13}+1}{4} x=\frac{1-\sqrt{13}}{4}$$