Resolver 39x^2+14x-9=0

$$39 { x }^{ 2 } +14x-9=0$$

Ebatzi: x

$$x=-\frac{9}{13}\approx -0.692307692$$

$$x=\frac{1}{3}\approx 0.333333333$$

Faktorizazioa darabilten urratsak, taldekatzearen arabera

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu ezkerraldea taldekatzearen bidez. Lehenik, 39x^{2}+ax+bx-9 gisa idatzi behar da ezkerraldea. a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=14 ab=39\left(-9\right)=-351$$

ab negatiboa denez, a eta b balioek kontrako zeinuak dituzte. a+b positiboa denez, zenbaki positiboak negatiboak baino balio absolutu handiagoa du. Zerrendatu -351 biderkadura duten osokoen pare guztiak.

$$-1,351 -3,117 -9,39 -13,27$$

Kalkulatu pare bakoitzaren batura.

$$-1+351=350 -3+117=114 -9+39=30 -13+27=14$$

14 batura duen parea da soluzioa.

$$a=-13 b=27$$

Berridatzi 39x^{2}+14x-9 honela: \left(39x^{2}-13x\right)+\left(27x-9\right).

$$\left(39x^{2}-13x\right)+\left(27x-9\right)$$

Deskonposatu 13x lehen taldean, eta 9 bigarren taldean.

$$13x\left(3x-1\right)+9\left(3x-1\right)$$

Deskonposatu 3x-1 gai arrunta banaketa-propietatea erabiliz.

$$\left(3x-1\right)\left(13x+9\right)$$

Ekuazioaren soluzioak aurkitzeko, ebatzi 3x-1=0 eta 13x+9=0.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{9}{13}$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$39x^{2}+14x-9=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 39 balioa a balioarekin, 14 balioa b balioarekin, eta -9 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-14±\sqrt{14^{2}-4\times 39\left(-9\right)}}{2\times 39}$$

Egin 14 ber bi.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-4\times 39\left(-9\right)}}{2\times 39}$$

Egin -4 bider 39.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-156\left(-9\right)}}{2\times 39}$$

Egin -156 bider -9.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196+1404}}{2\times 39}$$

Gehitu 196 eta 1404.

$$x=\frac{-14±\sqrt{1600}}{2\times 39}$$

Atera 1600 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-14±40}{2\times 39}$$

Egin 2 bider 39.

$$x=\frac{-14±40}{78}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-14±40}{78} ekuazioa ± plus denean. Gehitu -14 eta 40.

$$x=\frac{26}{78}$$

Murriztu \frac{26}{78} zatikia gai txikienera, 26 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x=\frac{1}{3}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-14±40}{78} ekuazioa ± minus denean. Egin 40 ken -14.

$$x=-\frac{54}{78}$$

Murriztu \frac{-54}{78} zatikia gai txikienera, 6 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x=-\frac{9}{13}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{9}{13}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$39x^{2}+14x-9=0$$

Gehitu 9 ekuazioaren bi aldeetan.

$$39x^{2}+14x-9-\left(-9\right)=-\left(-9\right)$$

-9 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$39x^{2}+14x=-\left(-9\right)$$

Egin -9 ken 0.

$$39x^{2}+14x=9$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 39 balioarekin.

$$\frac{39x^{2}+14x}{39}=\frac{9}{39}$$

39 balioarekin zatituz gero, 39 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\frac{14}{39}x=\frac{9}{39}$$

Murriztu \frac{9}{39} zatikia gai txikienera, 3 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x^{2}+\frac{14}{39}x=\frac{3}{13}$$

Zatitu \frac{14}{39} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta \frac{7}{39} lortuko duzu. Ondoren, gehitu \frac{7}{39} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}+\frac{14}{39}x+\left(\frac{7}{39}\right)^{2}=\frac{3}{13}+\left(\frac{7}{39}\right)^{2}$$

Egin \frac{7}{39} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}+\frac{14}{39}x+\frac{49}{1521}=\frac{3}{13}+\frac{49}{1521}$$

Gehitu \frac{3}{13} eta \frac{49}{1521} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x^{2}+\frac{14}{39}x+\frac{49}{1521}=\frac{400}{1521}$$

Atera x^{2}+\frac{14}{39}x+\frac{49}{1521} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x+\frac{7}{39}\right)^{2}=\frac{400}{1521}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{39}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{400}{1521}}$$

Sinplifikatu.

$$x+\frac{7}{39}=\frac{20}{39} x+\frac{7}{39}=-\frac{20}{39}$$

Egin ken \frac{7}{39} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{9}{13}$$