Resolver 37x^2-70x+25=0

$$37 x ^ { 2 } - 70 x + 25 = 0$$

Ebatzi: x

$$x = \frac{10 \sqrt{3} + 35}{37} \approx 1.414067786$$

$$x=\frac{35-10\sqrt{3}}{37}\approx 0.477824106$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$37x^{2}-70x+25=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 37 balioa a balioarekin, -70 balioa b balioarekin, eta 25 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-\left(-70\right)±\sqrt{\left(-70\right)^{2}-4\times 37\times 25}}{2\times 37}$$

Egin -70 ber bi.

$$x=\frac{-\left(-70\right)±\sqrt{4900-4\times 37\times 25}}{2\times 37}$$

Egin -4 bider 37.

$$x=\frac{-\left(-70\right)±\sqrt{4900-148\times 25}}{2\times 37}$$

Egin -148 bider 25.

$$x=\frac{-\left(-70\right)±\sqrt{4900-3700}}{2\times 37}$$

Gehitu 4900 eta -3700.

$$x=\frac{-\left(-70\right)±\sqrt{1200}}{2\times 37}$$

Atera 1200 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-\left(-70\right)±20\sqrt{3}}{2\times 37}$$

-70 zenbakiaren aurkakoa 70 da.

$$x=\frac{70±20\sqrt{3}}{2\times 37}$$

Egin 2 bider 37.

$$x=\frac{70±20\sqrt{3}}{74}$$

Orain, ebatzi x=\frac{70±20\sqrt{3}}{74} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 70 eta 20\sqrt{3}.

$$x=\frac{20\sqrt{3}+70}{74}$$

Zatitu 70+20\sqrt{3} balioa 74 balioarekin.

$$x=\frac{10\sqrt{3}+35}{37}$$

Orain, ebatzi x=\frac{70±20\sqrt{3}}{74} ekuazioa ± minus denean. Egin 20\sqrt{3} ken 70.

$$x=\frac{70-20\sqrt{3}}{74}$$

Zatitu 70-20\sqrt{3} balioa 74 balioarekin.

$$x=\frac{35-10\sqrt{3}}{37}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=\frac{10\sqrt{3}+35}{37} x=\frac{35-10\sqrt{3}}{37}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$37x^{2}-70x+25=0$$

Egin ken 25 ekuazioaren bi aldeetan.

$$37x^{2}-70x+25-25=-25$$

25 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$37x^{2}-70x=-25$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 37 balioarekin.

$$\frac{37x^{2}-70x}{37}=-\frac{25}{37}$$

37 balioarekin zatituz gero, 37 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}-\frac{70}{37}x=-\frac{25}{37}$$

Zatitu -\frac{70}{37} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{35}{37} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{35}{37} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}-\frac{70}{37}x+\left(-\frac{35}{37}\right)^{2}=-\frac{25}{37}+\left(-\frac{35}{37}\right)^{2}$$

Egin -\frac{35}{37} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}-\frac{70}{37}x+\frac{1225}{1369}=-\frac{25}{37}+\frac{1225}{1369}$$

Gehitu -\frac{25}{37} eta \frac{1225}{1369} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x^{2}-\frac{70}{37}x+\frac{1225}{1369}=\frac{300}{1369}$$

Atera x^{2}-\frac{70}{37}x+\frac{1225}{1369} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x-\frac{35}{37}\right)^{2}=\frac{300}{1369}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x-\frac{35}{37}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{300}{1369}}$$

Sinplifikatu.

$$x-\frac{35}{37}=\frac{10\sqrt{3}}{37} x-\frac{35}{37}=-\frac{10\sqrt{3}}{37}$$

Gehitu \frac{35}{37} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{10\sqrt{3}+35}{37} x=\frac{35-10\sqrt{3}}{37}$$