Resolver 3z^2-z-5=0

$$3 z ^ { 2 } - z - 5 = 0$$

Ebatzi: z

$$z = \frac{\sqrt{61} + 1}{6} \approx 1.468374946$$

$$z=\frac{1-\sqrt{61}}{6}\approx -1.135041613$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$3z^{2}-z-5=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 3 balioa a balioarekin, -1 balioa b balioarekin, eta -5 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$z=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 3\left(-5\right)}}{2\times 3}$$

Egin -4 bider 3.

$$z=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-12\left(-5\right)}}{2\times 3}$$

Egin -12 bider -5.

$$z=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+60}}{2\times 3}$$

Gehitu 1 eta 60.

$$z=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{61}}{2\times 3}$$

-1 zenbakiaren aurkakoa 1 da.

$$z=\frac{1±\sqrt{61}}{2\times 3}$$

Egin 2 bider 3.

$$z=\frac{1±\sqrt{61}}{6}$$

Orain, ebatzi z=\frac{1±\sqrt{61}}{6} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 1 eta \sqrt{61}.

$$z=\frac{\sqrt{61}+1}{6}$$

Orain, ebatzi z=\frac{1±\sqrt{61}}{6} ekuazioa ± minus denean. Egin \sqrt{61} ken 1.

$$z=\frac{1-\sqrt{61}}{6}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$z=\frac{\sqrt{61}+1}{6} z=\frac{1-\sqrt{61}}{6}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$3z^{2}-z-5=0$$

Gehitu 5 ekuazioaren bi aldeetan.

$$3z^{2}-z-5-\left(-5\right)=-\left(-5\right)$$

-5 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$3z^{2}-z=-\left(-5\right)$$

Egin -5 ken 0.

$$3z^{2}-z=5$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$\frac{3z^{2}-z}{3}=\frac{5}{3}$$

3 balioarekin zatituz gero, 3 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$z^{2}-\frac{1}{3}z=\frac{5}{3}$$

Zatitu -\frac{1}{3} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{1}{6} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{1}{6} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$z^{2}-\frac{1}{3}z+\left(-\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{5}{3}+\left(-\frac{1}{6}\right)^{2}$$

Egin -\frac{1}{6} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$z^{2}-\frac{1}{3}z+\frac{1}{36}=\frac{5}{3}+\frac{1}{36}$$

Gehitu \frac{5}{3} eta \frac{1}{36} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$z^{2}-\frac{1}{3}z+\frac{1}{36}=\frac{61}{36}$$

Atera z^{2}-\frac{1}{3}z+\frac{1}{36} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(z-\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{61}{36}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(z-\frac{1}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{61}{36}}$$

Sinplifikatu.

$$z-\frac{1}{6}=\frac{\sqrt{61}}{6} z-\frac{1}{6}=-\frac{\sqrt{61}}{6}$$

Gehitu \frac{1}{6} ekuazioaren bi aldeetan.

$$z=\frac{\sqrt{61}+1}{6} z=\frac{1-\sqrt{61}}{6}$$