Resolver 3x^2-7x+5=0

$$3 x ^ { 2 } - 7 x + 5 = 0$$

Ebatzi: x (complex solution)

$$x=\frac{7+\sqrt{11}i}{6}\approx 1.166666667+0.552770798i$$

$$x=\frac{-\sqrt{11}i+7}{6}\approx 1.166666667-0.552770798i$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$3x^{2}-7x+5=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 3 balioa a balioarekin, -7 balioa b balioarekin, eta 5 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 3\times 5}}{2\times 3}$$

Egin -7 ber bi.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 3\times 5}}{2\times 3}$$

Egin -4 bider 3.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-12\times 5}}{2\times 3}$$

Egin -12 bider 5.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-60}}{2\times 3}$$

Gehitu 49 eta -60.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{-11}}{2\times 3}$$

Atera -11 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{11}i}{2\times 3}$$

-7 zenbakiaren aurkakoa 7 da.

$$x=\frac{7±\sqrt{11}i}{2\times 3}$$

Egin 2 bider 3.

$$x=\frac{7±\sqrt{11}i}{6}$$

Orain, ebatzi x=\frac{7±\sqrt{11}i}{6} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 7 eta i\sqrt{11}.

$$x=\frac{7+\sqrt{11}i}{6}$$

Orain, ebatzi x=\frac{7±\sqrt{11}i}{6} ekuazioa ± minus denean. Egin i\sqrt{11} ken 7.

$$x=\frac{-\sqrt{11}i+7}{6}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=\frac{7+\sqrt{11}i}{6} x=\frac{-\sqrt{11}i+7}{6}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$3x^{2}-7x+5=0$$

Egin ken 5 ekuazioaren bi aldeetan.

$$3x^{2}-7x+5-5=-5$$

5 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$3x^{2}-7x=-5$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$\frac{3x^{2}-7x}{3}=-\frac{5}{3}$$

3 balioarekin zatituz gero, 3 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x=-\frac{5}{3}$$

Zatitu -\frac{7}{3} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{7}{6} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{7}{6} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x+\left(-\frac{7}{6}\right)^{2}=-\frac{5}{3}+\left(-\frac{7}{6}\right)^{2}$$

Egin -\frac{7}{6} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x+\frac{49}{36}=-\frac{5}{3}+\frac{49}{36}$$

Gehitu -\frac{5}{3} eta \frac{49}{36} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x+\frac{49}{36}=-\frac{11}{36}$$

Atera x^{2}-\frac{7}{3}x+\frac{49}{36} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x-\frac{7}{6}\right)^{2}=-\frac{11}{36}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{6}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{11}{36}}$$

Sinplifikatu.

$$x-\frac{7}{6}=\frac{\sqrt{11}i}{6} x-\frac{7}{6}=-\frac{\sqrt{11}i}{6}$$

Gehitu \frac{7}{6} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{7+\sqrt{11}i}{6} x=\frac{-\sqrt{11}i+7}{6}$$