Resolver 3x^2+9x+9=0

$$3 x ^ { 2 } + 9 x + 9 = 0$$

Ebatzi: x (complex solution)

$$x=\frac{-3+\sqrt{3}i}{2}\approx -1.5+0.866025404i$$

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-3}{2}\approx -1.5-0.866025404i$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$3x^{2}+9x+9=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 3 balioa a balioarekin, 9 balioa b balioarekin, eta 9 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\times 3\times 9}}{2\times 3}$$

Egin 9 ber bi.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-4\times 3\times 9}}{2\times 3}$$

Egin -4 bider 3.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-12\times 9}}{2\times 3}$$

Egin -12 bider 9.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-108}}{2\times 3}$$

Gehitu 81 eta -108.

$$x=\frac{-9±\sqrt{-27}}{2\times 3}$$

Atera -27 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-9±3\sqrt{3}i}{2\times 3}$$

Egin 2 bider 3.

$$x=\frac{-9±3\sqrt{3}i}{6}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-9±3\sqrt{3}i}{6} ekuazioa ± plus denean. Gehitu -9 eta 3i\sqrt{3}.

$$x=\frac{-9+3\sqrt{3}i}{6}$$

Zatitu -9+3i\sqrt{3} balioa 6 balioarekin.

$$x=\frac{-3+\sqrt{3}i}{2}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-9±3\sqrt{3}i}{6} ekuazioa ± minus denean. Egin 3i\sqrt{3} ken -9.

$$x=\frac{-3\sqrt{3}i-9}{6}$$

Zatitu -9-3i\sqrt{3} balioa 6 balioarekin.

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-3}{2}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=\frac{-3+\sqrt{3}i}{2} x=\frac{-\sqrt{3}i-3}{2}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$3x^{2}+9x+9=0$$

Egin ken 9 ekuazioaren bi aldeetan.

$$3x^{2}+9x+9-9=-9$$

9 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$3x^{2}+9x=-9$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$\frac{3x^{2}+9x}{3}=-\frac{9}{3}$$

3 balioarekin zatituz gero, 3 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\frac{9}{3}x=-\frac{9}{3}$$

Zatitu 9 balioa 3 balioarekin.

$$x^{2}+3x=-\frac{9}{3}$$

Zatitu -9 balioa 3 balioarekin.

$$x^{2}+3x=-3$$

Zatitu 3 (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta \frac{3}{2} lortuko duzu. Ondoren, gehitu \frac{3}{2} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}+3x+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=-3+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Egin \frac{3}{2} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=-3+\frac{9}{4}$$

Gehitu -3 eta \frac{9}{4}.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=-\frac{3}{4}$$

Atera x^{2}+3x+\frac{9}{4} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}=-\frac{3}{4}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{3}{4}}$$

Sinplifikatu.

$$x+\frac{3}{2}=\frac{\sqrt{3}i}{2} x+\frac{3}{2}=-\frac{\sqrt{3}i}{2}$$

Egin ken \frac{3}{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{-3+\sqrt{3}i}{2} x=\frac{-\sqrt{3}i-3}{2}$$